Производная Y_X' численно равна тангенсу угла наклона бюджетной линии в точке касания. В данной задаче для всех кривых безразличия эта производная будет иметь один и тот же вид: Y_X'=0,1X-6 (Поскольку U – постоянная величина для каждой данной кривой безразличия). Так как цены товаров не изменяются, все бюджетные линии будут иметь один и тот же тангенс угла наклона, равный (-\frac{P_X}{P_Y}). Это значит, что для всех кривых безразличия в соответствующих им точках оптимума численные значения производных будут одинаковыми. Если первоначальное значение X равно X_1, а новое значение (после увеличения бюджета) равно X_2, то 0,1Х_1 – 6 = 0,1Х_2 – 6 = -\frac{P_X}{P_Y} \quad (1). Кстати, отсюда X_1=X_2.

Пусть цены товаров X и Y равны P_X и P_Y. Тогда первоначальный бюджет можно выразить как I_1 = P_X X_1 + P_Y Y_1 = P_X X_1 + P_Y 60.

Новый бюджет: I_2 = P_X X_2 + P_Y Y_2 = P_X X_1 + P_Y Y_2.

Из условия задачи следует, что I_2=2I_1. То есть P_X X_1 + P_Y Y_2 = 2(P_X X_1 + P_Y 60). Разделив обе части этого уравнения на(-P_Y) и затем используя равенство (1), получим:

\left( -\frac{P_X}{P_Y} \right) X_1 - Y_2 = 2 \left( -\frac{P_X}{P_Y} \right) X_1 - 120\quad, Y_2 = 120 - \left( -\frac{P_X}{P_Y} \right) X_1 = 120 - (0.1 X_1 - 6) X_1. \quad Y_2 = – 0,1X_1^2 + 6X_1 + 120 \quad(2).

Из уравнения кривой безразличия: U = – 0,05X^2 + 6X + Y. Первоначальное значение функции полезности: U_1 = – 0,05X_1^2 + 6X_1 + 60. Новое значение функции полезности: U_2 = – 0,05X_2^2 + 6X_2 + Y_2 = – 0,05X_1^2 + 6X_1 + Y_2.

Из условия задачи следует, что U_2=1,875U_1.

То есть – 0,05X_1^2 + 6X_1 + Y_2 = 1,875(– 0,05X_1^2 + 6X_1 + 60).

Отсюда Y_2 = – 0,04375X_1^2 + 5,25X_1 + 112,5 \quad (3).

Используя (2) и (3), можно записать равенство: – 0,1X_1^ 2 + 6X_1 + 120 = – 0,04375X_1^2 + 5,25X_1 + 112,5. \quad 0,05625X_1^2 – 0,75X_1 – 7,5 = 0.

Единственный положительный (т.е. имеющий смысл) корень уравнения: X_1=20. Как мы уже доказали, объем потребления блага после увеличения бюджета будет таким же, т.е. X_2=20. Из уравнения (2) Y_2 = – 0,1*20^2 + 6*20 + 120 = 200.

Ответ. После увеличения бюджета индивид потребляет 20 единиц X и 200 единиц Y.