КПВ в учебе
Рома –– ученик старшей школы, который стремится прилежно учиться. Тем не менее, его силы ограничены. У Ромы есть 180 единиц жизненной энергии, которые он может инвестировать в изучение двух предметов –– математики и информатики, по каждому из которых можно получить оценку от 0 до 100 баллов. Каждая единица энергии, потраченная на математику, дает 0,5 балла по математике. С информатикой сложнее: каждая единица энергии, потраченная на информатику, дает 1 балл до достижения оценки x баллов; затем каждая дополнительная единица энергии прибавляет к оценке по информатике лишь 0,5 балла. Обозначим за e1 и e2 количества энергии, потраченной на математику и информатику соответственно, за g1 и g2 –– оценки по математике и информатике соответственно. Величина x не является константой, а зависит от e1 по следующему правилу: x = 8 \sqrt{e1}. Иными словами, чем больше энергии тратится на математику, тем позже наступает снижение производительности в изучении информатики.
а) (4 балла) Постройте КПВ Ромы в координатах (g1, g2 ). Выведите уравнение КПВ g2 (g1). Имейте в виду, что если Рома выучил некий предмет на g баллов, он может написать контрольную и хуже, если того захочет. КПВ может содержать горизонтальный участок.
б) (4 балла) Допустим, Рома посвящает учебе всего себя и максимизирует среднее арифметическое двух оценок. Определите, какие оценки он получит, если оптимально распределит свою энергию. Отметьте полученную точку на рисунке с КПВ.
в) (4 балла) Теперь допустим, что кроме оценок Рома в какой-то степени думает и об отдыхе. А именно, он максимизирует величину (g1 + g2 )/2 + e3/3, где e3 –– количество жизненной энергии, оставшееся после затрат энергии на учебу, Определите, какие оценки он получит, если оптимально распределит свою энергию. Отметьте полученную точку на рисунке с КПВ
а) Формализуем условие. Ограничение на жизненную энергию имеет вид e1 + e2 \leq
180. Зависимость оценки за математику от потраченной на подготовку к ней энергии
выглядит как g1 = 1/2 e1. В свою очередь, зависимость оценки за информатику от e1 и e2 имеет более сложный вид:
g_2 = \begin{cases} e_2, & e_2 \leq 8\sqrt{e_1} \\ \frac{1}{2}\left(e_2 - 8\sqrt{e_1}\right) + 8\sqrt{e_1}, & e_2 \geq 8\sqrt{e_1} \end{cases}
Воспользуемся тем, что e1 = 2g1 и получим, что
g_2 = \begin{cases} e_2, & e_2 \leq 8\sqrt{2g_1} \\ \frac{1}{2}e_2 + 4\sqrt{2g_1}, & e_2 \geq 8\sqrt{2g_1} \end{cases}
Отсюда можно выразить обратную зависимость e2 от g2 на двух участках:
e_2 = \begin{cases} g_2, & g_2 \leq 8\sqrt{2g_1} \\ 2g_2 - 8\sqrt{2g_1}, & 2g_2 \geq 8\sqrt{2g_1} \end{cases}
Значит, исходное ограничение на затраты энергии по подготовке к предметам
может быть переписано в терминах g1 и g2 как
180 \geq e_1 + e_2 = \begin{cases} 2g_1 + g_2, & g_2 \leq 8\sqrt{2g_1} \\ 2g_1 - 8\sqrt{2g_1} + 2g_2, & g_2 \geq 8\sqrt{2g_1} \end{cases}
Видно, что в целях поиска КПВ мы заинтересованы в строгом равенстве –– в противном случае при фиксированном g1 можно немного увеличить g2, а значит, мы
не на КПВ (если только мы не преодолели порог в 100 баллов для какого-то из предметов, что, как станет видно чуть дальше, не случится).
Предположим, что g2 \leq 8\sqrt{2g1}. Тогда, если мы находимся на КПВ, выполнено, что
2g1 + g2 = 180, откуда g2 = 180 − 2g1. Решая квадратное относительно \sqrt{g1} неравенство 180 − 2g1 \leq 8\sqrt{2g1} можно получить, что g1 \geq 50. Теперь предположим, что g2 \geq 8\sqrt{2g1}. В таком случае, 2g1−8\sqrt{2g1} +2g2 = 180, откуда g2 = 90−g1+4\sqrt{2g1}. Квадратное относительно \sqrt{g1} неравенство 90−g1+4\sqrt{2g1} \geq 8\sqrt{2g1}
совпадает с неравенством, рассмотренным выше, с точностью до знака, а потому его
решением является множество g1 \leq 50.
Суммируя анализ двух участков можно заключить, что
g_2 = \begin{cases} 90 - g_1 + 4\sqrt{2g_1}, & g_1 \leq 50 \\ 180 - 2g_1, & g_1 \geq 50 \end{cases}
Наконец, заметим, что 90 - g_1 + 4\sqrt{2g_1} –– парабола ветвями вниз относительно \sqrt{g1}
с максимумом в вершине, а значит сформулированная кривая возрастает до точки
\sqrt{g1} = 2\sqrt{2} -> g1 = 8. Но тогда вместо выбора точки на кривой при g1 < 8 Рома может
просто перейти в точку g1 = 8, увеличив тем самым g2, и написать контрольные хуже
при желании. Значит, КПВ Ромы имеет вид
g_2 = \begin{cases} 90 - g_1 + 4\sqrt{2g_1}, & 8 \leq g_1 \leq 50 \\ 180 - 2g_1, & g_1 \geq 50 \end{cases}
Также корректным считается решение, где у КПВ Ромы добавляется горизонтальный участок от точки (0; 98) до точки (8; 98), что отображено на рис. 6.1.
б) Полезность Ромы равна
U = \frac{g_1 + g_2}{2} = \frac{1}{2} \cdot e_1 + \frac{1}{2} \begin{cases} e_2, & e_2 \leq 8\sqrt{e_1} \\ e_2/2 + 4\sqrt{e_1}, & e_2 \geq 8\sqrt{e_1} \end{cases} = \begin{cases} e_1/4 + e_2/2, & e_2 \leq 8\sqrt{e_1} \\ e_1/4 + e_2/4 + 2\sqrt{e_1}, & e_2 \geq 8\sqrt{e_1} \end{cases}
Поскольку Рома будет тратить всю энергию на учебу, e2 = 180 − e1. C учетом этого
полезность перепишется как
U(e_1) = \begin{cases} e_1/4 + (180 - e_1)/2, & 180 - e_1 \leq 8\sqrt{e_1}; \\ 45 + 2\sqrt{e_1}, & 180 - e_1 > 8\sqrt{e_1}. \end{cases}
Как мы знаем, неравенство 180 - e_1 \leq 8\sqrt{e_1} эквивалентно неравенству e1 \geq 100, так что
U(e_1) = \begin{cases} 45 + 2\sqrt{e_1}, & e_1 < 100; \\ 90 - e_1/4, & e_1 \geq 100. \end{cases}
Рома распределит энергию так, чтобы значение этой функции было максимально.
Поскольку функция 45 + 2\sqrt{e_1} возрастает, а функция (90 − e1)/4 убывает, значение U(e1) максимально при e1 = 100. В результате Рома получит оценки g1 = e1/2 = 50, g2 = e2 =80. Эта точка отмечена на рис. 6.1.
Ответ: g1 = 50, g2 = 80
в) Теперь полезность Ромы равна
U = \frac{g_1 + g_2}{2} + \frac{e_3}{3} = \frac{e_3}{3} + \begin{cases} e_1/4 + e_2/2, & e_2 \leq 8\sqrt{e_1}; \\ e_1/4 + e_2/4 + 2\sqrt{e_1}, & e_2 > 8\sqrt{e_1}. \end{cases}
Теперь мы не можем сказать, что e1 = 180 − e2, так как есть еще и e3. Поскольку e3 = 180 − e1 − e2, полезность можно переписать как
U(e_1, e_2) = \frac{180 - e_1 - e_2}{3} + \begin{cases} e_1/4 + e_2/2, & e_2 \leq 8\sqrt{e_1}; \\ e_1/4 + e_2/4 + 2\sqrt{e_1}, & e_2 > 8\sqrt{e_1}. \end{cases} = 60 + \begin{cases} e_2/6 - e_1/12, & e_2 \leq 8\sqrt{e_1}; \\ -e_2/12 - e_1/12 + 2\sqrt{e_1}, & e_2 > 8\sqrt{e_1}. \end{cases}
Рома максимизирует эту функцию по двум переменным e1, e2. Из-за специального
вида этой функции максимизация по двум переменным здесь несложная. Действительно, заметим, что, каково бы ни было значение e1, полезность возрастает по e2 при e2 < 8\sqrt{e1} и убывает по e2 при e2 > 8\sqrt{e1}. Значит, в оптимуме всегда e2 = 8\sqrt{e1}, то есть
Рома будет учить информатику ровно до снижения производительности. Подставляя
e2 = 8\sqrt{e1} в полезность, получаем функцию от одной переменной U (e1) = 60 + 8\sqrt{e1} /6 − e1 /12.
Это парабола с ветвями вниз относительно \sqrt{e1}, вершина находится в точке (8/6)\cdot 6 = 8.
Значит, в оптимуме e1 = 82 = 64, e2 = 8\sqrt{e1} = 64, g1 = 32, g2 = 64.
Эта точка отмечена на 6.1. Она находится под КПВ, что может быть необычным,
но не является удивительным. Действительно, если Рома ценит отдых, вполне логично, что он не будет напрягаться на полную мощность, чтобы получать максимально
возможную оценку g2 при фиксированном g1.
Ответ: g1 = 32, g2 = 64