Выбираем пропорцию для салата
Поселившись в стране Вега, Юный Экономист стал питаться исключительно салатом из помидоров и огурцов. Пропорция, при которой салат имеет приемлемый для Юного Экономиста вкус, не является жестко заданной. А именно, он готов есть салат, если в нем на 1 огурец приходится от 1/4 до 4 помидоров. Полезность порции салата, полученной из 1 огурца и k\in[1/4;4] помидоров, равна для него \sqrt k.
Юный Экономист располагает бюджетом в размере 1000 д.е. в неделю. Один огурец стоит 20 д.е., а помидор — вдвое дешевле. Полезность Юного Экономиста равна суммарной полезности от всех съеденных за неделю порций салата. Овощи в стране Вега бесконечно делимые.
1) Допустим, Юный Экономист решил готовить все порции салата в единой пропорции k помидоров на 1 огурец. Какое значение k он выберет, максимизируя свою полезность?
2) Может ли полезность Юного Экономиста увеличиться по сравнению с пунктом 1), если он будет готовить одну часть порций салата в пропорции k_1, а другую часть — в пропорции k_2 ?
а) Стоимость одной порции салата составит для Юного экономиста 20+10k д.e., а значит, он сможет потребить \frac{1000}{20+10k} порций. Полезность от каждой порции равна \sqrt k, а значит итоговая полезность ЮЭ будет равна:
U(k) = \frac{100\sqrt{k}}{2 + k}
Нам нужно найти значение k\in[1/4;4], при котором значение этого выражения максимально. Это можно сделать стандартным методом — с помощью производной. Есть и решение, не требующее знания производной: разделим числитель и знаменатель на \sqrt k :
U(k) = \frac{100}{\sqrt{k} + \frac{2}{\sqrt{k}}}
Значение дроби максимально, когда знаменатель минимален. Заметим, однако, что \sqrt{k} + \frac{2}{\sqrt{k}} = \left( \sqrt[4]{k} - \sqrt{2}/\sqrt[4]{k} \right)^2 + 2\sqrt{2}. Поэтому знаменатель минимален тогда и только когда, когда \sqrt[4]{k} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{k}} = 0, то есть k=2. (Этот же результат можно было получить с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим)
б) Первый способ
Общие затраты на оба типа порций будут равны (20+10k_1)x_1+(20+10k_2)x_2=1000. Общая полезность:
U = x_1 \sqrt{k_1} + x_2 \sqrt{k_2}
Пусть x_1 и k_1 выбраны на каких-то произвольных (необязательно оптимальных) уровнях. Тогда U=const_1+x_2\sqrt k_2, а расходы равны const_2+(2+k_2)x_2=100. Отсюда
U = \text{const}_1 + \frac{100 - \text{const}_2}{2 + k_2} \sqrt{k_2}
Максимизируя эту функцию (она с точности до констант похожа на функцию в пункте а) получаем, что k_2^*=2 независимо от k_1. Аналогично k_1^*=k_2^*=2 — ЮЭ не сможет получить больше полезности, так как он не будет пользоваться возможностью делать разные салаты.
Второй способ
Докажем, что ЮЭ не может получить полезность больше, чем в а), то есть больше, чем 25\sqrt 2. Назовем «порциями первого типа» те, в которых пропорция помидоры: огурцы равна k_1, а «порциями второго типа» те, в которых пропорция равна k_2. Пусть ЮЭ готовит x_1 порций первого типа и x_2 порций второго типа. Обозначим его расходы на порции первого типа за E_1, а расходы на порции второго типа — за E_2.
Полезность ЮЭ равна
U = x_1 \sqrt{k_1} + x_2 \sqrt{k_2} = \frac{E_1}{20 + 10k_1} \sqrt{k_1} + \frac{E_2}{20 + 10k_2} \sqrt{k_2}
Заметим, однако, что из пункта а) мгновенно следует, что \frac{\sqrt{k_1}}{20 + 10k_1} = \frac{\sqrt{2}}{40} и \frac{\sqrt{k_2}}{20 + 10k_2} = \frac{\sqrt{2}}{40}. Поэтому
U = \frac{\sqrt{2}}{40} E_1 + \frac{\sqrt{2}}{40} E_2 = \frac{\sqrt{2}}{40} \cdot (E_1 + E_2) = \frac{\sqrt{2}}{40} \cdot 1000 = 25 \sqrt{2}
что и требовалось доказать.