а) Стоимость одной порции салата составит для Юного экономиста 20+10k д.e., а значит, он сможет потребить \frac{1000}{20+10k} порций. Полезность от каждой порции равна \sqrt k, а значит итоговая полезность ЮЭ будет равна:

U(k) = \frac{100\sqrt{k}}{2 + k}

Нам нужно найти значение k\in[1/4;4], при котором значение этого выражения максимально. Это можно сделать стандартным методом — с помощью производной. Есть и решение, не требующее знания производной: разделим числитель и знаменатель на \sqrt k :

U(k) = \frac{100}{\sqrt{k} + \frac{2}{\sqrt{k}}}

Значение дроби максимально, когда знаменатель минимален. Заметим, однако, что \sqrt{k} + \frac{2}{\sqrt{k}} = \left( \sqrt[4]{k} - \sqrt{2}/\sqrt[4]{k} \right)^2 + 2\sqrt{2}. Поэтому знаменатель минимален тогда и только когда, когда \sqrt[4]{k} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{k}} = 0, то есть k=2. (Этот же результат можно было получить с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим)

б) Первый способ

Общие затраты на оба типа порций будут равны (20+10k_1)x_1+(20+10k_2)x_2=1000. Общая полезность:

U = x_1 \sqrt{k_1} + x_2 \sqrt{k_2}

Пусть x_1 и k_1 выбраны на каких-то произвольных (необязательно оптимальных) уровнях. Тогда U=const_1+x_2\sqrt k_2, а расходы равны const_2+(2+k_2)x_2=100. Отсюда

U = \text{const}_1 + \frac{100 - \text{const}_2}{2 + k_2} \sqrt{k_2}

Максимизируя эту функцию (она с точности до констант похожа на функцию в пункте а) получаем, что k_2^*=2 независимо от k_1. Аналогично k_1^*=k_2^*=2 — ЮЭ не сможет получить больше полезности, так как он не будет пользоваться возможностью делать разные салаты.

Второй способ

Докажем, что ЮЭ не может получить полезность больше, чем в а), то есть больше, чем 25\sqrt 2. Назовем «порциями первого типа» те, в которых пропорция помидоры: огурцы равна k_1, а «порциями второго типа» те, в которых пропорция равна k_2. Пусть ЮЭ готовит x_1 порций первого типа и x_2 порций второго типа. Обозначим его расходы на порции первого типа за E_1, а расходы на порции второго типа — за E_2.

Полезность ЮЭ равна

U = x_1 \sqrt{k_1} + x_2 \sqrt{k_2} = \frac{E_1}{20 + 10k_1} \sqrt{k_1} + \frac{E_2}{20 + 10k_2} \sqrt{k_2}

Заметим, однако, что из пункта а) мгновенно следует, что \frac{\sqrt{k_1}}{20 + 10k_1} = \frac{\sqrt{2}}{40} и \frac{\sqrt{k_2}}{20 + 10k_2} = \frac{\sqrt{2}}{40}. Поэтому

U = \frac{\sqrt{2}}{40} E_1 + \frac{\sqrt{2}}{40} E_2 = \frac{\sqrt{2}}{40} \cdot (E_1 + E_2) = \frac{\sqrt{2}}{40} \cdot 1000 = 25 \sqrt{2}

что и требовалось доказать.