а) Предельная выручка фирмы от продажи товара в объеме Q₁ на внутреннем рынке равна MR₁(Q₁) = TR'₁(Q₁) = (60Q₁ − Q²₁)' = 60 − 2Q₁. Предельная выручка фирмы от

продажи товара в объеме Q₂ на внешнем рынке равна MR₂(Q₂) = TR'₂(Q₂) = (30Q₂)' =30. Предположим, что фирма произвела Q = Q₁ + Q₂ единиц товара. Для того, чтобы

максимизировать прибыль, ей необходимо распределить Q₁ и Q₂ так, чтобы получить

максимальную суммарную выручку с двух рынков, ведь ее издержки фиксированы

на уровне TC(Q) = Q²/2. Поскольку на внутреннем рынке предельная выручка убывает с уровня 60, а на внешнем рынке предельная выручка фиксирована и равна 30,

фирме оптимально продавать весь товар на внутреннем рынке, покуда предельная

выручка на нем не сравняется с предельной выручкой на внешнем рынке, а затем перейти на экспорт, потому что дальнейшие продажи на внутреннем рынке будут приносить меньшую предельную выручку. Заметим, что предельные выручки на обоих

рынках сравняются при 60 − 2Q = 30 -> Q = 15. Таким образом, итоговая функция

предельной выручки фирмы выглядит как

MR(Q) = \left\{ \begin{array}{ll} 60 - 2Q, & Q \leq 15; \\ 30, & Q \geq 15. \end{array} \right.

Предельные издержки фирмы имеют вид MC(Q) = TC'(Q) = (Q²/2)' = Q. Поскольку предельная выручка всюду не возрастает, а предельные издержки строго монотонно возрастают, их пересечение задает точку оптимума. Пересечение MR(Q) и MC(Q)

не может проходить по убывающему участку MR(Q), поскольку он определен при Q \leq 15, а в точке пересечения 60 − 2Q = Q -> Q = 20. Значит, функция предельных

издержек пересекает горизонтальный участок функции предельной выручки, Q = 30

- суммарный объем производства фирмы, из которого Q₁ = 15 - продажи на внутреннем рынке и Q₂ = 15 - экспорт фирмы на мировой рынок. Внутренняя цена будет равна P = 60 − 15 = 45.

б) Введение потоварной экспортной пошлины в размере t приведет к тому, что

предельная выручка фирмы от продажи на мировом рынке составит не 30, а 30 − t.

Аналогично предыдущему пункту, сперва фирма будет продавать товар на внутреннем рынке, а затем, когда предельные выручки на двух рынках сравняются, перейдет

на внешний. Точка перехода определяется из условия равенства предельных выручек: 60 − 2Q = 30 − t -> Q = 15 + t/2. Функция предельной выручки фирмы имеет вид

MR(Q) = \left\{ \begin{array}{ll} 60 - 2Q, & Q \leq 15 + \frac{t}{2}; \\ 30 - t, & Q \geq 15 + \frac{t}{2}. \end{array} \right.

Теперь точка пересечения функции предельной выручки с функцией предельных

издержек зависит от t. Если 15 + t/2 \leq 20 -> t \leq 10, то пересечение все так же происходит по горизонтальному участку MR(Q), откуда суммарный объем производства

равен Q = 30 − t, внутренний объем продаж равен Q₁= 15 + t/2 и экспорт равен

Q₂ = Q − Q₁ = 15 − 3t/2. Если же t \geq 10, то пересечение пройдет по убывающему участку MR(Q), откуда суммарный объем производства равен Q = 20, внутренний объем

продаж равен Q₁ = 20 и экспорт равен Q₂ = 0.

Рассмотрим случай t \leq 10. Общественное благосостояние в рассматриваемом случае определяется как SW(t) = CS(t) + PS(t) + T(t), где CS - излишек потребителя,

PS - излишек производителя (он же прибыль монополиста, поскольку фиксированные издержки отсутствуют), T - налоговая выручка государства с экспортной пошлины. Ясно, что T(t) = tQ₂ = 15t − 3t²/2. Излишек производителя равен PS(t) = \pi =(60 − Q₁)Q₁ + (30 − t)Q₂ − Q²/2 = (45 − t/2)(15 + t/2) + (30 − t)(15 − 3t/2) − (30 − t)²/2. Излишек потребителя на линейном спросе определяется равен с равновесным объемом

продукции Q₁ равен Q₁²/2, а потому CS(t) = (15 + t/2)²/2. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем, что SW (t) = −0.625t² + 7.5t + 787.5 - парабола

ветвями вниз с максимумом в вершине. В точке оптимума t = 7.5

1.25 = 6 \leq 10. Заметим, что SW (6) > SW (10) (в силу того, что мы работаем с параболой ветвями вниз) и SW (t) = SW (10) (в силу того, что большие значения t перестают оказывать влияние на равновесие, ведь фирма перестает экспортировать товар) при t \geq 10. Поэтому в оптимуме действительно t* = 6.

Ответ: t* = 6.

в) Изначально монополист дискриминирует рынки, поставляя на внутренний рынок товар по более высокой цене (45 > 30) и в меньшем объеме (15 < 30) в сравнении с конкурентным равновесием. Экспортная пошлина позволяет увеличить объем

внутреннего потребления товара, приблизив его к конкурентному, а также снизить

его цену, и вместе с этим увеличить доходы государства (которые тоже участвуют в определении общественного благосостояния). Все это перекрывает падение излишка производителя, связанное с введением экспортной пошлины, и ведете к повышению общественного благосостояния. Фактически, экспортная пошлина в данном случае имеет действие, похожее на действие субсидии на внутреннее потребление, а, как

известно, такая субсидия повышает благосостояние на монопольном рынке, аналог

чего мы и наблюдаем в данной задаче.