a) Фирма A выбирает цену, принимая во внимание решение фирмы B, т.е. количество, которое фирма B захочет продать при данной цене. Подобная зависимость между ценой и количеством описывается функцией предложения. Найдем функцию предложения фирмы B, решив ее задачу максимизации прибыли:

\max_{z \geq 0} \left[ wz - TC(z) \right] = \max_{z \geq 0} \left[ wz - z^2 \right]

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть z=w/2.

Итак, функция предложения фирмы B имеет вид z^s(w)=w/2.

Тогда фирма A будет выбирать цену, которая приносит ей максимальную прибыль с учетом данной функции предложения поставщика фактора:

\max_{w \geq 0} \left( p F(z^s(w)) - w z^s(w) \right) = \max_{w \geq 0} \left( 12w - 0.25w^2 - 0.5w^2 \right) = \max_{w \geq 0} \left( 12w - 0.75w^2 \right)

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть w=12/1,5=8.

Подставляя это значение в функцию предложения, находим z^s(8)=8/2=4.

б) Фирма B выбирает цену, принимая во внимание решение фирмы A, т.е. количество, которое фирма A захочет купить при данной цене. Подобная зависимость между ценой и количеством описывается функцией спроса. Найдем функцию спроса фирмы A, решив ее задачу максимизации прибыли:

\max_{z \geq 0} \, p F(z) - w z

Заметим, что целевая функция представима вогнутой функцией (парабола с ветвями вниз), а потому условие первого порядка будет необходимым и достаточным. Выпишем условие первого порядка 24-2z=w или z^d(w)=12-0,5w. Заметим, что полученное условие справедливо при w\leq 24. Если w>24, то величина спроса на фактор будет равна нулю.

Итак, выбирая цену фактора, фирма B будет решать следующую задачу

\max_{w \geq 0} \left[ w z^d(w) - TC(z^d(w)) \right]

Задача фирмы примет вид

\max_{w \geq 0} \left( w(12 - 0.5w) - (12 - 0.5w)^2 \right).

Условие первого порядка: 12-w+12-0,5w=0.

Преобразовав, находим 24=1,5w или w=16. В соответствии с функцией спроса на фактор z^d(16)=12-0,5*16=4.

в) Задача интегрированной фирмы примет вид:

\max_{z \geq 0} \left( pF(z) - TC(z) \right) = \max_{z \geq 0} \left( 24z - z^2 - z^2 \right)

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть z=24/4=6.

В результате прибыль интегрированной фирмы составит \pi^c = (24z - 2z^2) = 6(24 - 12) = 72.

Суммарная прибыль двух фирм в случаях а) и б) будет одинакова, поскольку совпало равновесное количество фактора \pi^a=\pi^b=(24-2z^2)=4(24-8)=64, что меньше прибыли, полученной интегрированной фирмой.

Данный результат несложно обобщить.

Суммарная прибыль двух фирм: (pF(z) - wz) + (wz - TC(z)) = (pF(z) - TC(z)).

Поскольку интегрированная фирма выбирает уровень занятости фактора, максимизируя это выражение, то она всегда может выбрать уровень занятости фактора, соответствующий выбору в случаях а) или б), то есть прибыль интегрированной фирмы всегда не меньше, чем прибыль в случаях а) и б).

Более того, интегрированная фирма может (в некоторых случаях) выбрать другой уровень занятости, который приносит более высокую прибыль по сравнению со случаями а) и б).

г) Поскольку желаемый уровень занятости превышает фактический (выбираемый в пункте а)), то для увеличения уровня занятости будем субсидировать использование фактора производства, выплачивая потребителю этого фактора субсидию со ставкой за каждую единицу фактора. В итоге задача фирмы A примет вид

\max_{w \geq 0} \left(pF(z^s(w)) - (w - s)z^s(w)\right) = \max_{w \geq 0} \left(12w - 0.25w^2 - 0.5w(w - s)\right) = \max_{w \geq 0} \left((12 + 0.5s)w - 0.75w^2\right)

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть w=(12+0,5s)/1,5=8+s/3.

Подставляя в функцию предложения, находим z^s(8+s/3)=4+s/6=6 при s=12.

Результат об инвариантности получателя субсидии - 2 балла.

Заметим, что не имеет значения, будет ли данную субсидию получать покупатель или поставщик фактора производства.