Фактор Z
Фирма A является единственным потребителем фактора z. Известно, что цена единицы продукции, производимой фирмой A, равна 2, а производственная функция имеет вид F(z)=12z-0,5z^2. Фирма B является единственным производителем фактора z, причем совокупные альтернативные издержки найма фактора в количестве z представимы функцией TC(z)=z^2. Информация о функциях F(z) и TC(z) известна всем агентам. Каждая фирма стремится максимизировать свою прибыль.
a) Предположим, что фирма A знает функцию совокупных альтернативных издержек найма фактора фирмы B. Предположим также, что фирма A выбирает цену единицы данного фактора, а затем фирма B, принимая эту цену как данную, решает, какое количество данного фактора она готова произвести и продать фирме A при этой цене. Найдите цену фактора, максимизирующую прибыль фирмы A, и количество фактора, которое при этой цене продаст фирма B.
б) Предположим теперь, что фирма B знает производственную функцию фирмы A и выбирает цену фактора, а фирма A, принимая эту цену как данную, решает, сколько фактора купить при этой цене. Найдите цену, максимизирующую прибыль фирмы B и количество фактора, которое фирма A приобретет по этой цене.
в) Если фирмы A и B объединились, то какое количество фактора будет производить интегрированная фирма? Как соотносится прибыль новой компании с суммарной прибылью фирм в случаях а) и б)? Будет ли полученное соотношение прибыли справедливо для любой возрастающей функции альтернативных издержек?
г) Пусть взаимодействие фирмы A с поставщиком фактора производства соответствует ситуации, представленной в пункте а). Однако правительство хочет, чтобы уровень занятости фактора соответствовал значению, выбираемому интегрированной фирмой, рассмотренной в пункте в). Можно ли решить поставленную задачу за счет использования потоварного налога или потоварной субсидии с некой фиксированной ставкой. Найдите соответствующую ставку налога/субсидии и укажите, кто должен платить налог (получать субсидию) или покажите, что такого налога (субсидии) не существует.
a) Фирма A выбирает цену, принимая во внимание решение фирмы B, т.е. количество, которое фирма B захочет продать при данной цене. Подобная зависимость между ценой и количеством описывается функцией предложения. Найдем функцию предложения фирмы B, решив ее задачу максимизации прибыли:
\max_{z \geq 0} \left[ wz - TC(z) \right] = \max_{z \geq 0} \left[ wz - z^2 \right]
Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть z=w/2.
Итак, функция предложения фирмы B имеет вид z^s(w)=w/2.
Тогда фирма A будет выбирать цену, которая приносит ей максимальную прибыль с учетом данной функции предложения поставщика фактора:
\max_{w \geq 0} \left( p F(z^s(w)) - w z^s(w) \right) = \max_{w \geq 0} \left( 12w - 0.25w^2 - 0.5w^2 \right) = \max_{w \geq 0} \left( 12w - 0.75w^2 \right)
Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть w=12/1,5=8.
Подставляя это значение в функцию предложения, находим z^s(8)=8/2=4.
б) Фирма B выбирает цену, принимая во внимание решение фирмы A, т.е. количество, которое фирма A захочет купить при данной цене. Подобная зависимость между ценой и количеством описывается функцией спроса. Найдем функцию спроса фирмы A, решив ее задачу максимизации прибыли:
\max_{z \geq 0} \, p F(z) - w z
Заметим, что целевая функция представима вогнутой функцией (парабола с ветвями вниз), а потому условие первого порядка будет необходимым и достаточным. Выпишем условие первого порядка 24-2z=w или z^d(w)=12-0,5w. Заметим, что полученное условие справедливо при w\leq 24. Если w>24, то величина спроса на фактор будет равна нулю.
Итак, выбирая цену фактора, фирма B будет решать следующую задачу
\max_{w \geq 0} \left[ w z^d(w) - TC(z^d(w)) \right]
Задача фирмы примет вид
\max_{w \geq 0} \left( w(12 - 0.5w) - (12 - 0.5w)^2 \right).
Условие первого порядка: 12-w+12-0,5w=0.
Преобразовав, находим 24=1,5w или w=16. В соответствии с функцией спроса на фактор z^d(16)=12-0,5*16=4.
в) Задача интегрированной фирмы примет вид:
\max_{z \geq 0} \left( pF(z) - TC(z) \right) = \max_{z \geq 0} \left( 24z - z^2 - z^2 \right)
Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть z=24/4=6.
В результате прибыль интегрированной фирмы составит \pi^c = (24z - 2z^2) = 6(24 - 12) = 72.
Суммарная прибыль двух фирм в случаях а) и б) будет одинакова, поскольку совпало равновесное количество фактора \pi^a=\pi^b=(24-2z^2)=4(24-8)=64, что меньше прибыли, полученной интегрированной фирмой.
Данный результат несложно обобщить.
Суммарная прибыль двух фирм: (pF(z) - wz) + (wz - TC(z)) = (pF(z) - TC(z)).
Поскольку интегрированная фирма выбирает уровень занятости фактора, максимизируя это выражение, то она всегда может выбрать уровень занятости фактора, соответствующий выбору в случаях а) или б), то есть прибыль интегрированной фирмы всегда не меньше, чем прибыль в случаях а) и б).
Более того, интегрированная фирма может (в некоторых случаях) выбрать другой уровень занятости, который приносит более высокую прибыль по сравнению со случаями а) и б).
г) Поскольку желаемый уровень занятости превышает фактический (выбираемый в пункте а)), то для увеличения уровня занятости будем субсидировать использование фактора производства, выплачивая потребителю этого фактора субсидию со ставкой за каждую единицу фактора. В итоге задача фирмы A примет вид
\max_{w \geq 0} \left(pF(z^s(w)) - (w - s)z^s(w)\right) = \max_{w \geq 0} \left(12w - 0.25w^2 - 0.5w(w - s)\right) = \max_{w \geq 0} \left((12 + 0.5s)w - 0.75w^2\right)
Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть w=(12+0,5s)/1,5=8+s/3.
Подставляя в функцию предложения, находим z^s(8+s/3)=4+s/6=6 при s=12.
Результат об инвариантности получателя субсидии - 2 балла.
Заметим, что не имеет значения, будет ли данную субсидию получать покупатель или поставщик фактора производства.