Задача 1. РЭ ПОШ – 2020 (10-11 класс)
Юная предпринимательница Настя производит роботов двух типов. Первый тип роботов умеет включать музыку по запросу владельца, поэтому в народе их зовут музыкантами. Второй тип роботов умеет искать смешные картинки, поэтому люди называют их юмористами. Кривая Производственных Возможностей (КПВ) предприятия Насти имеет вид M+H=10, где M – количество музыкантов, а H – количество юмористов. При этом Настя может продавать своих музыкальных роботов заграницу. За одного музыканта Настя может получить трех юмористов или же наоборот обменять трех юмористов на одного музыканта.
а) Сколько максимально роботов может получить Настя, если ей все равно на их функционал?
В первую очередь заметим, что Насте не имеет смысле менять юмористов на музыканта, ведь таким образом она строго уменьшает количество роботов. За это рассуждение и правильный вывод ставится (+5 баллов). Пользуясь этим выводом мы можем построить Кривую торговых возможностей (КТВ) Насти. Для этого заметим, что альтернативными издержками производства одного юмориста на своем заводе является один музыкант, а при покупке на международном рынке — 1/3 музыканта. Таким образом можно сделать вывод, что Настя будет специализироваться на производстве музыкантов и итоговая КТВ будет иметь вид H=30-3M ( +5 баллов).
Имея КТВ Насти мы можем решить ее оптимизационную задачу. Очевидно, что оптимальное для Насти производство лежит на КТВ (ведь в любой точке под КТВ она может увеличить количество роботов одного из типов). Формализуем ее в следующей виде:
H + M \rightarrow max_{H + 3M = 30; H, M \geq 0}
Подставим ограничение в оптимизационную задачу:
30 - 2M \to \max \Rightarrow M = 0
Итого, в оптимуме Настя производит 10 музыкантов, продает их на международном рынке и получает 30 юмористов ( +5 баллов).
б) Правила международной торговли изменились, теперь свою продукцию на международный рынок необходимо еще доставить. Для того чтобы доставить одного робота Насте придется использовать еще одного работа, то есть чтобы продать одного робота, необходимо отправить на международный рынок двоих. Ответьте на вопрос пункта а).
В первую очередь стоит заметить, что безразлично каких роботов использовать как транспортных. Ведь альтернативные издержки производства одного юмориста на заводе в точности равны пропорции, в которой они могут быть заменены при перевозке. Дальше же просто необходимо вспомнить вывод из пункта а), что Настя не будет продавать заграницу юмористов. Продать заграницу можно максимум 10 музыкантов, однако для транспортировки одного робота требуется еще один робот. А значит максимально продать можно только 5 музыкантов. Таким образом в результате торговли Настя получает 15 юмористов, что и максимизирует количество роботов для нее.
в) У Насти появился второй завод, на котором КПВ имеет вид H+2,5M=12,5. Ответьте на вопрос пункта а), если его условия сохраняются.
Заметим что альтернативные издержки производства музыкантов на новом заводе равны 2,5 юмориста. При этом альтернативная стоимость музыканта на международном рынке составляет 3 юмориста. Но, так как в пункте б) ввели условие на необходимость транспортировки роботов другими роботами, альтернативная стоимость одного музыканта составляет 2 юмориста, ведь чтобы купить трех юмористов, необходимо продать одного музыканта и одного использовать как транспорт, почему использовать юмористов как транспорт не оптимально доказано в пункте а), так как на новом заводе альтернативные издержки музыканта еще выше. А значит на новом заводе можно максимально получить 25 юмористов. Таким образом ответ на пункт в) это 40 роботов юмористов.