а) В условии задачи слова «сумма долга» могут быть интерпретированы двумя способами: сумма, которой не хватает, чтобы оплатить аренду лодки, или вся арендная плата. Будем использовать первый вариант интерпретации в качестве основного. Пусть заданы w, b \geq 0. Выигрыш Старика равен

если он ловит рыбку: U_1 = \begin{cases} \frac{w-5}{2} + \frac{w + b - 5}{2} = w + \frac{b}{2} - 5, & \text{если } w \geq 5,\\ w - 5 + \frac{w + b - 5}{2} = \frac{3w + b - 15}{2}, & \text{если } w < 5 \leq w + b,\\ (w - 5) + (w + b - 5) = 2w + b - 10, & \text{если } w + b < 5; \end{cases}
если он не ловит рыбку: U0 = w.

Если w + b < 5, то U1 − U0 = w + b − 10 < 0, так что в этом случае лучше не ловить.

Если w < 5 \leq w + b, то U1 − U0 = (w+b−15)/2, так что в этом случае нужно ловить рыбку, если w +b \geq 15 (помним, что при безразличии надо ловить, так что неравенство нестрогое).

Если w \geq 5, то U1 − U0 = b/2 − 5, так что в этом случае надо ловить, если b \geq 10. Итого, надо ловить, если b \geq max{15 − w, 10}.

Возможна альтернативная интерпретация условия задачи: если Старику не хватает монет, чтобы оплатить аренду лодки, то он платит в двойном размере всю арендную плату, т.е. платит 10 вместо 5. Тогда получается, что

U_1 = \begin{cases} w + \frac{b}{2} - 5, & \text{если } w \geq 5,\\ \frac{w + b - 15}{2}, & \text{если } w < 5 \leq w + b,\\ w + b - 10, & \text{если } w + b < 5. \end{cases}

и Старик выходит в море при выполнении хотя бы одного из двух условий: b \geq 15 или w \geq 5, b \geq 10.

б) Выигрыш Старухи, если Старик ловит рыбку, равен

\Pi_1 = \frac{12 - w - b}{2} - \frac{w}{2} = 6 - w - \frac{b}{2}.

Величину П1 надо максимизировать при ограничении b \geq max{15 − w, 10}. Так как П1 убывает по b, это ограничение выполняется как равенство: b = max{15 − w, 10}. Подставляя это в формулу для П1, получаем

\Pi_1 = 6 - w - \frac{\max\{15 - w, 10\}}{2} = \min\left(\frac{-w - 3}{2}, 1 - w\right).

Правая часть убывает по w, поэтому максимум П1 достигается при w = 0. Отсюда b = 15. Возможно и другое рассуждение: необходимым условием выхода Старика в море за рыбкой является неравенство w + b \geq 15. Если бы действовало только это ограничение, то оптимум достигался бы при w = 0, b = 15, так как коэффициент при w в функции прибыли Старухи равен −1, а коэффициент при b меньше по модулю и равен − 1/2. Но при w = 0, b = 15 выполнено и второе ограничение b \geq 10, так что это действительно решение задачи Старухи в условиях пункта б). При альтернативной интерпретации условия задачи множество контрактов (w, b), из которых выбирает Старуха в пункте б), сокращается по сравнению с основной интерпретацией, но контракт w = 0, b = 15 остаётся доступным и, следовательно, оптимальным. Ответы на пункты б), в), г) не зависят от выбора интерпретации.

в) Максимальное значение П1, полученное в предыдущем пункте, равно − 3/2. Это меньше, чем П0 = 0 –– выигрыш Старухи, если она предлагает Старику w = b = 0, а тот, соответственно, не ловит рыбку. Так что w = b = 0 будет оптимальным контрактом. Кроме того, оптимальным будет и контракт с w = 0 и b < 15, поскольку он также стимулирует Старика не выходить в море и даёт Старухе нулевую прибыль.

г) Если Старуха хочет, чтобы Старик ловил рыбку, то она должна оставить его со средним выигрышем не меньшим, чем w. Для этого, даже если не учитывать возможные дополнительные расходы на возврат долга лодочнику, должно выполняться неравенство w+b0/2 + w+b1/2 − 5 \geq w <-> b0 + b1 \geq 10, а с учётом этих расходов данное неравенство тем более должно выполняться. Контракт (w, b0, b1 ), удовлетворяющий этому неравенству, даёт Старухе выигрыш П = 12/2 − w − (b0+b1)/2 \leq 1 − w \leq 1. Максимально возможный выигрыш, равный 1, может быть получен с помощью контракта (w, b0, b1 ) = (0, 5, 5). Это выгоднее для Старухи, чем не стимулировать Старика ловить рыбку (в этом случае её выигрыш был бы нулевым). Таким образом, (0, 5, 5) является оптимальным контрактом. Заметим, что никакой другой контракт не является оптимальным для Старухи. Действительно, для любого оптимального контракта перечисленные выше неравенства должны становиться равенствами: w = 0, b0 + b1 = 10. Если (b0, b1 ) \neq (5, 5), то bi < 5 для одного из i = {0, 1}. То есть у Старика будут дополнительные расходы на возврат долга, которые Старухе придётся компенсировать, из-за чего её прибыль уменьшится.