Задача 3.2. РЭ ПОШ – 2021 (11 класс)
Фирма "КаПэВэ" производит два товара: X и Y. Производятся данные товары из трех компонент: Алкок (А), Балок (Б) и Валок (В). Чтобы произвести единицу X, необходимо две Алки и одна Балка. Чтобы произвести единицу Y нужно две Балки и одна Валка. Известно, что "КаПэВэ" обладает двумя заводами, производящими Алки, Балки и Валки. Из КПВ описываются следующими уравнениями: А+2Б+3В=300 и А+Б+В=100. Найдите КПВ фирмы в координатах X-Y
Выгодно производить А на 1 заводе, а В - на втором ( +2 балла) (это смотрим по альтернативным издержкам). Промаксимизируем количество Y : если делать Б на первом и В на втором, то выйдет перебор по В (150 и 100 ). Получается, нужно делать Б на третьем тоже ( +5 баллов). КПВ по Б и В на третьем Б=100-В ( +5 баллов). Делаем N единиц Б на третьем: 150+N=2(100-N). N=50/3. Тогда максимальное количество Y это 100-50/3=250/3 ( +5 баллов).
Начинаем делать X : производим 2 единицы А на первом, отказываясь от 1/2 единицы Б (так как иначе отказывались бы от 1 единицы Б, выиграв в эффективности 1,5 перед В, что все равно не оч). Таким образом, оптимальная стратегия - производить А на первом заводе и уменьшать производство Б на втором заводе ( +3 балла). Тогда будет верно, что:
a = 2x \\ y = v \\ b = x + 2y \\ a = 2x = 300 - 2b_1 = 300 - 2b_1 \\ x = 150 - b_1 \\ v = y = 100 - b_2 \\ b_2 = 100 - y \\ b_1 = b - b_2 = b - 100 + y \\ x = 150 - b_1 = 150 - b + 100 - y \\ y = 250 - b - x = 250 - x - 2y - x \\ y = \frac{250}{3} - \frac{2}{3}x ( +5 баллов за систему уравнений)
Этот участок длится до тех пор, пока мы не перестанем либо производить Б на первом, либо Б на втором. Если мы перестанем производить Б на втором, то там будет 100 В, то есть в сумме 100 единиц Y, тогда нам нужно 200 единиц Б на первом, а это невозможно. Если мы перестанем производить Б на первом, то там будем делать только А, то есть 150 единиц X, а значит нам нужно еще 150 единиц Б на втором поле, что тоже невозможно. Получается, КПВ так будет идти до конца. ( +5 баллов за рассуждения)
Ответ: y=\frac{250}{3}-\frac {2}{3}x