Задача 2. ШЭ ВСоШ Татарстан 2025 (9-10 класс)
В одной онлайн школе «Тамло» работает ММС-менеджер Аниледа, которая занимается привлечением школьников на курс. Горизонт планирования онлайн школы и Аниледы – 4 недели. Если Аниледа будет работать X часов в неделю, то привлечёт 2X школьников на курс. При этому каждый школьник, за вычетом всех расходов, кроме зарплаты Аниледы приносит онлайн школе 2000 рублей за 4 недели. Зарплата Аниледы равна 200 рублей в час, а работать она может не более 20 часов в неделю.
(a) ( 5 баллов) Пусть количество часов, которое будет работать Аниледа выбирает руководитель школы – Асаш. Сколько часов выберет Асаш, если он максимизирует прибыль школы за 4 недели? Чему будет равна его прибыль?
Запишем прибыль Ашаса от X. Если Аниледа работает X часов, то привлекает 2X учеников, каждый из которых приносит Ашасу 2000 рублей, то есть суммарно они приносят ему выручку в размере TR=2000*2X=4000X рублей. При этом зарплата Аниледы за час составляет 200 рублей, то есть за 4 недели она заработает 4*200*X=800X рублей, что и будет являться издержками Ашаса (TC). Тогда прибыль Ашаса можно записать как разницу выручки и издержек, то есть она составит: \pi=TR-TC=4000X-800X=3200X рублей. Функция прибыли линейна и возрастает с увеличением X. Так как Ашас максимизирует прибыль, он выберет максимальное возможное X=20.
Прибыль Ашаса составит в этом случае \pi=3200X=3200*20=64000 рублей.
(b) ( 5 баллов) Предположим, что Ашас не может наблюдать сколько часов в действительности работает Аниледа и поэтому она сама выбирает количество часов, которая будет работать. Аниледа несёт альтернативные издержки времени: если она работает X часов в неделю, то за 4 недели она устаёт на сумму эквивалентную 80X^2 рублей. Найдите сколько часов будет работать Аниледа в этой ситуации и прибыль онлайн школы.
Запишем «прибыль» Аниледы от X. Если она работает X часов в неделю, то, как было посчитано в предыдущем пункте, она получает 800X рублей. Её издержки на работу равны 80X^2 рублей, тогда её «прибыль» составляет 800X-80X^2. Функция «прибыли» имеет вид параболы с ветвями вниз, то есть максимум достигается в вершине при X=\frac{800}{2*80}=5.
Прибыль Ашаса составит в этом случае \pi=3200X=3200*5=16000 рублей