Приведу схематическое решение.

Найдем долю располагаемого дохода i - го человека. Она составит \frac{1}{3} \cdot \frac{i^2 - (i-1)^2}{100^2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{300} \left( \frac{1}{100} (2i - 1) + 2 \right). Значит доход i - го человека - это M_i = (2i - 1) + 200 = 2i + 199. Равновесие на рынке хлеба: q = P \Rightarrow 49P = 10000 - P \Rightarrow P = q = 200 \Rightarrow всего произведено 200*49 ед.хлеба \Rightarrow каждый житель Простоквашино приобретет 2*49 ед. хлеба.

Найдем спрос i - го человека на пирожные: Q_i = M_i - \frac{1}{2} q_i - P_i = 2i + 199 - 49 - P_i = 150 + 2i - P_i. Автомат максимизирует прибыль, то есть \pi = (150 + 2i - Q_i) Q_i - 50 Q_i = (100 + 2i) Q_i - Q_i^2 \rightarrow \max - парабола, ветви вниз \Rightarrow максимум в вершине, Q_i=i+50 ; \pi_{max}=(i+50)^2.

Суммарная прибыль это \pi_{sum} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{150 \cdot 151 \cdot 301}{6} - \frac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6} = 1093350.

(Примечание 1 : тут нам нужно было сосчитать сумму квадратов всех целых чисел от 51 до 150. Для этого мы воспользовались формулой 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. Если вам была неизвестна эта формула, можете вывести ее по индукции, либо методом неопределенных коэффициентов в качестве упражнения.)

Теперь осталось лишь вычесть 10000, отданные на возобновление производства, и необходимую Дяде Фёдору казну, то есть Мите следует просить A=1093350−10000−1050000=33350 ден. ед.

Примечание 2 : мы действительно нашли максимум прибыли монополиста в силу того, что его предельные издержки постоянны. В противном случае рассуждения бы были неверны.

Ответ:

33350 денежных единиц.