Максимизируем выручку, чтобы максимизировать прибыль

Фирмы и производят однородный товар и конкурируют, выбирая уровни выпуска. Если фирмы выберут уровни выпуска   и , на рынке установится цена . Средние издержки каждой из фирм постоянны и равны . В любой из ситуаций ниже фирмы выбирают объёмы выпуска одновременно, и выбранная пара выпусков фирм   является равновесием, то есть выпуск   оптимален для фирмы А при выпуске фирмы , равном , и наоборот. (слова "оптимален для фирмы " нужно понимать как "оптимален для того, кто выбирает выпуск в фирме ", см. ниже.) Владелец каждой из фирм максимизирует свою прибыль.

а) ( балла) Найдите выпуски и прибыли фирм, если выпуск каждой фирмы выбирает её владелец.

б) ( балла) Допустим, владелец фирмы нанял менеджера и заключил с ним договор, согласно которому менеджер должен выбирать выпуск фирмы , а оплата менеджера составит некую малую фиксированную положительную долю выручки фирмы . Менеджер максимизирует свою зарплату. Владелец фирмы знает об условиях этого договора и по-прежнему сам выбирает выпуск своей фирмы. Найдите выпуски фирм. Покажите, что прибыль владельца фирмы увеличится по сравнением с пунктом а). (Расходами на зарплату менеджера пренебречь, они малы.)

в) ( балла) То, что прибыль фирмы увеличилась, на первый взгляд, является парадоксом, ведь фирма перешла от максимизации прибыли к максимизации величины, не равной прибыли. Приведите содержательное экономическое объяснение этого парадокса.

г) ( балла) Допустим, что помимо малой доли выручки владелец фирмы платит менеджеру также и малую долю прибыли фирмы, то есть менеджер получает величину  где ,   – выручка фирмы ,   – её прибыль до вычета зарплаты менеджера. Владелец фирмы знает об условиях этого договора и по-прежнему сам выбирает выпуск своей фирмы. Определите оптимальное для владельца фирмы соотношение . (Расходами на зарплату менеджера пренебречь, они малы.)