Максимизируем выручку, чтобы максимизировать прибыль

Фирмы A и B производят однородный товар и конкурируют, выбирая уровни выпуска. Если фирмы выберут уровни выпуска q_A  и q_B, на рынке установится цена P=12-q_A-q_B. Средние издержки каждой из фирм постоянны и равны 3. В любой из ситуаций ниже фирмы выбирают объёмы выпуска одновременно, и выбранная пара выпусков фирм (q_A, q_B)  является равновесием, то есть выпуск q_A  оптимален для фирмы АA при выпуске фирмы B, равном q_B, и наоборот. (слова "оптимален для фирмы A " нужно понимать как "оптимален для того, кто выбирает выпуск в фирме A ", см. ниже.) Владелец каждой из фирм максимизирует свою прибыль.

а) ( 2 балла) Найдите выпуски и прибыли фирм, если выпуск каждой фирмы выбирает её владелец.

б) ( 3 балла) Допустим, владелец фирмы A нанял менеджера и заключил с ним договор, согласно которому менеджер должен выбирать выпуск фирмы A, а оплата менеджера составит некую малую фиксированную положительную долю выручки фирмы A. Менеджер максимизирует свою зарплату. Владелец фирмы B знает об условиях этого договора и по-прежнему сам выбирает выпуск своей фирмы. Найдите выпуски фирм. Покажите, что прибыль владельца фирмы A увеличится по сравнением с пунктом а). (Расходами на зарплату менеджера пренебречь, они малы.)

в) ( 3 балла) То, что прибыль фирмы A увеличилась, на первый взгляд, является парадоксом, ведь фирма A перешла от максимизации прибыли к максимизации величины, не равной прибыли. Приведите содержательное экономическое объяснение этого парадокса.

г) ( 4 балла) Допустим, что помимо малой доли выручки владелец фирмы A платит менеджеру также и малую долю прибыли фирмы, то есть менеджер получает величину w = \alpha \cdot TR + \beta \cdot \pi, где \alpha>0, \beta>0, TR  – выручка фирмы A, \pi  – её прибыль до вычета зарплаты менеджера. Владелец фирмы B знает об условиях этого договора и по-прежнему сам выбирает выпуск своей фирмы. Определите оптимальное для владельца фирмы A соотношение \alpha/\beta. (Расходами на зарплату менеджера пренебречь, они малы.)