TC(q_i) = 0.5q_i^2 + 4q_i

Q = 100 - P

1. Оптимизационная задача каждой фирмы:

\pi_i(q_i) = (100 - Q)q_i - 0.5q_i^2 - 4q_i - t q_i \rightarrow \max (2 балла)

\pi_i(q_i) = 100 - 2q_i - q_i - 4 - t = 0

-3 q_i - 4 - t = 0 \rightarrow \max или \pi_i(q_i) - парабола ветвями вниз (2 балла)

q_i = \frac{24 - t}{4}

Фирмы симметричные, поэтому в равновесии: q^*_1 = q^*_2 = q^* (1 балл)

Налоговые сборы равны: T = 2 * t * q^* = 2t(24 - \frac{t}{4}) \rightarrow \max

T = 48 - t = 0 (1 балл)

T' = -1 < 0 \rightarrow \max или T(t) - парабола ветвями вниз (1 балл)

t^* = 48 (1 балл), q^* = 12 (1 балл)

T = 2 * 12 * 48 = 1152 (1 балл)

\pi^* = (100 - 24) * 12 - \frac{144}{2} - 48 - 48 * 12 = 216 (1 балл)

2. Налог на прибыль никак не влияет на производственный оптимум фирмы, поэтому каждая фирма будет производить 24 кг минерала.

\pi^*_i = (1 - g) \left[(100 - 48) * 24 - \frac{24^2}{2} - 4 * 24 \right] = (1 - g) * 864 (4 балла)

Пусть G - налоговые сборы: G = 2 * 864 * g = 1728g (2 балла)

\pi^* = 288 (2 балла)

3. Если выбирается ставка налога t на кг добытого минерала, то: T(t) = 48t - \frac{t^2}{2} \geq 1024 (2 балла)

t_1 = 48 + 16

t_1 = 64 - \varnothing \text{ не подходит (минимальная добыча)}

t_2 = 32 (2 балла)

q(t = 32) = 16 (1 балл)

p = 100 - 32 = 68 (1 балл)

\pi^*_i = 68 + 16 - \frac{256}{2} - 4 * 16 - 32 * 16 = 384 (1 балл)

Если выбирается налог на прибыль g, то: g \geq \frac{1024}{1728} = \frac{16}{27} (2 балла)

\pi^*_g = \frac{864 + 11}{27} = 352 (1 балл)

Король выберет налог t = 32 денежных единиц на кг добытого минерала. Будет добыто 32 кг. В этом случае фирмы получают наибольшую прибыль. (1 балл)

Альтернативная трактовка (принятие решения на основе наибольшего выпуска).

Решения задач и критерии проверки МОШ по экономике 2022

Налог на прибыль не меняет оптимальное количество (1 балл)

Обоснование этого утверждения: есть выражение для прибыли \pi^*_g (см. пункт 2) (2 балла)

Производимое количество при введении повторного налога меньше, чем при налоге на прибыль (2 балла)

Обоснование этого утверждения: есть выражения для q_1 и q_2 в 1 пункте задачи. Например: q_1 = q_2 = 24 - \frac{t}{4}

Q = 48 - \frac{t}{2} (2 балла)

Посчитан объём производства Q = 48 (2 балла)

Посчитан налог на прибыль g \geq \frac{1024}{1728} = \frac{16}{27} (2 балла)