Минералы и налоги
На территории небольшого островного государства открыли месторождение редкого минерала. Он настолько редкий, что его месячная добыча измеряется в килограммах. Месячный спрос на минерал в килограммах Q = 100 - p .
На острове есть только две фирмы, которые занимаются разработкой месторождений. Издержки каждой фирмы имеют вид TC_i(q_i) = 0.5q_i^2 + 4q_i , где q_i — количество добытого минерала в килограммах фирмой i = \{1,2\} . Фирмы конкурируют, одновременно принимая решения об объёме выпуска, и цена на рынке формируется исходя из общего количества. Например, если обе фирмы выдали выпуск по 10 единиц, то цена на рынке установится P = 100 - 10 - 10 = 80 .
1) Правительство решило пополнить казну и ввело налог со ставки t ед. на каждый добытый килограмм минерала. Какую ставку налога необходимо установить, чтобы получить максимальные налоговые сборы? Чему равны сборы и какую прибыль получит каждая фирма?
2) Какую ставку налога на прибыль 100% нужно установить, чтобы получить такие же налоговые сборы, как в предыдущем пункте задачи? Какую прибыль получит каждая фирма в этом случае?
По просьбе делового сообщества, настаивающего на смягчении налоговой политики и увеличении добычи минерала, правительство приняло решение изменить налоговые ставки, но так, чтобы налоговые сборы в итоге были не меньше 1024 денежных единиц. Какой должна быть ставка налога, чтобы соблюсти пожелания делового сообщества? Какая ставка налога будет назначена и чему будет равен объём производства редкого минерала?
TC(q_i) = 0.5q_i^2 + 4q_i
Q = 100 - P
1. Оптимизационная задача каждой фирмы:
\pi_i(q_i) = (100 - Q)q_i - 0.5q_i^2 - 4q_i - t q_i \rightarrow \max (2 балла)
\pi_i(q_i) = 100 - 2q_i - q_i - 4 - t = 0
-3 q_i - 4 - t = 0 \rightarrow \max или \pi_i(q_i) - парабола ветвями вниз (2 балла)
q_i = \frac{24 - t}{4}
Фирмы симметричные, поэтому в равновесии: q^*_1 = q^*_2 = q^* (1 балл)
Налоговые сборы равны: T = 2 * t * q^* = 2t(24 - \frac{t}{4}) \rightarrow \max
T = 48 - t = 0 (1 балл)
T' = -1 < 0 \rightarrow \max или T(t) - парабола ветвями вниз (1 балл)
t^* = 48 (1 балл), q^* = 12 (1 балл)
T = 2 * 12 * 48 = 1152 (1 балл)
\pi^* = (100 - 24) * 12 - \frac{144}{2} - 48 - 48 * 12 = 216 (1 балл)
2. Налог на прибыль никак не влияет на производственный оптимум фирмы, поэтому каждая фирма будет производить 24 кг минерала.
\pi^*_i = (1 - g) \left[(100 - 48) * 24 - \frac{24^2}{2} - 4 * 24 \right] = (1 - g) * 864 (4 балла)
Пусть G - налоговые сборы: G = 2 * 864 * g = 1728g (2 балла)
\pi^* = 288 (2 балла)
3. Если выбирается ставка налога t на кг добытого минерала, то: T(t) = 48t - \frac{t^2}{2} \geq 1024 (2 балла)
t_1 = 48 + 16
t_1 = 64 - \varnothing \text{ не подходит (минимальная добыча)}
t_2 = 32 (2 балла)
q(t = 32) = 16 (1 балл)
p = 100 - 32 = 68 (1 балл)
\pi^*_i = 68 + 16 - \frac{256}{2} - 4 * 16 - 32 * 16 = 384 (1 балл)
Если выбирается налог на прибыль g, то: g \geq \frac{1024}{1728} = \frac{16}{27} (2 балла)
\pi^*_g = \frac{864 + 11}{27} = 352 (1 балл)
Король выберет налог t = 32 денежных единиц на кг добытого минерала. Будет добыто 32 кг. В этом случае фирмы получают наибольшую прибыль. (1 балл)
Альтернативная трактовка (принятие решения на основе наибольшего выпуска).
Решения задач и критерии проверки МОШ по экономике 2022
Налог на прибыль не меняет оптимальное количество (1 балл)
Обоснование этого утверждения: есть выражение для прибыли \pi^*_g (см. пункт 2) (2 балла)
Производимое количество при введении повторного налога меньше, чем при налоге на прибыль (2 балла)
Обоснование этого утверждения: есть выражения для q_1 и q_2 в 1 пункте задачи. Например: q_1 = q_2 = 24 - \frac{t}{4}
Q = 48 - \frac{t}{2} (2 балла)
Посчитан объём производства Q = 48 (2 балла)
Посчитан налог на прибыль g \geq \frac{1024}{1728} = \frac{16}{27} (2 балла)