(a) Подставляя данные из задачи в функцию прибыли монополиста отдельно для каждого региона (так как каждый завод обеспечивает товарами свой регион) и максимизируя прибыль монополиста, получим объем выпуска и цену в каждом регионе.

В регионе A:

ПA = PA(qA)qA - TCA(qA) = (300 − qA)qA - qA^2/2 = 300qA − qA^2 - qA^2/2 = 300qA − 1.5qA^2.

Аналогично в регионе B:

ПB = PB(qB)qB - TCB(qB) = (500 − qB/2)qB − (100qB + qB^2/2) = 400qB − qB^2.

Замечаем, что для каждого из регионов график прибыли относительно объема выпускаемой продукции - парабола с ветвями вниз, то есть максимум достигается в вершине. Максимум прибыли достигается при объемах и ценах:

qA = 100, PA = 200.

qB = 200, PB = 400.

В регионе A монополист продаст 100 единиц товара по цене 200. В регионе B монополист продаст 200 единиц товара по цене 400.

(b) Условие «Потребители теперь тоже могут перемещаться между регионами и покупать товар там, где он дешевле, если цены различны», означает, что монополист встречается с совокупным спросом на свою продукцию и товар в обоих регионах продается по одинаковой цене.

Найдём функцию спроса в этом случае. Обратим внимание, что в регионе A потребители оплачивают товар по цене ниже 300, в регионе B – при цене ниже 500. Прямые функции спроса q(P) в регионах имеют вид:

qA(P) = 300 − P, если P \geq 300, и qB(P) = 500 − Q/2, если Q \leq 400.

Так как монополист может теперь без дополнительных затрат перевозить товар из одного региона в другой, то он будет распределять производство товара между заводами наиболее выгодным образом: любой объем товара он будет стараться произвести с наименьшими издержками. Если всего ему нужно произвести Q единиц товара, то на заводе A он производит количество qA, а на заводе B – количество qB. Тогда совокупные издержки монополиста можно записать в виде:

TC(qA + qB) = \frac{q_A^2}{2} + 100q_B + \frac{q_B^2}{2}, где q_A = Q - q_B.

Относительно переменной qB график функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, минимум функции достигает в вершине параболы в точке qB = \frac{Q}{2} = 50.

Поэтому, если на заводе B производятся положительные объемы продукции, что возможно только при Q > 100, то qB = \frac{Q}{2} = 50, иначе, при Q \leq 100 весь объем продукции производится только на заводе A.

Действительно, если Q = qA + qB > 0, то Q − qB < 100, тогда

TC(qA + qB) = \frac{q_A^2}{2} + 100q_B + \frac{q_B^2}{2} = \frac{[(Q − q_B)^2]^2}{2} + 100q_B + \frac{q_B^2}{2} \geq \frac{1}{2}[(Q − q_B)^2 + 2 * (Q − q_B)q_B + q_B^2] = \frac{Q^2}{2} = TC(qA + 0).

То есть, издержки монополиста при Q будут меньше, если он откажется от производства в регионе B и весь объем произведет на заводе в регионе A.

То есть, издержки монополиста при Q \leq 100 будут меньше, если он откажется от производства на заводе в регионе B и весь объем произведет на заводе в регионе A.

Если же Q > 100, то на заводе в регионе A производится в размере qB = \frac{Q}{2} - 50 будет произведен на заводе в регионе B. Таким образом, функция издержек монополиста, который производит товар с минимальными затратами, будет иметь вид:

TC(Q) = \begin{cases} \frac{(Q/2 + 50)^2}{2}, & Q \leq 100 \\ \frac{Q^2}{4} + 50Q - 2500, & Q > 100 \end{cases}

Альтернативный подход к поиску распределения объемов производства между заводами.

При любом совокупном объеме выпуска, если выпускает продукцию оба завода, то предельные издержки производства для каждого из заводов должны быть равны. Иначе стоило бы перебросить часть производственной продукции на тот завод, где предельные издержки производства меньше, сократив при этом совокупные издержки. Поэтому, если qA > 0 и qB > 0, то MC(qA) = qA = MC(qB) = 100 + qB. Так как qA + qB = Q, то получим объем выпуска на каждом заводе: qA = \frac{Q}{2} + 50 и qB = \frac{Q}{2} - 50, что возможно только при Q > 100. Если же Q \leq 100, то выгодно выпускать весь объем товара только на заводе A, поскольку предельные издержки производства на этом заводе будут не более 100, чем на заводе B.

Теперь найдем, какое количество товара и его цена будет максимизировать прибыль монополиста, который продает товар по единой цене на двух рынках, распределяя выпуск между заводами. Запишем выражение для прибыли монополиста с учетом всех ограничений:

\Pi = \begin{cases} \left(500 - \frac{Q}{2}\right)Q - \frac{(Q/2 + 50)^2}{2} - 100\left(\frac{Q}{2} - 50\right)^2, & Q \leq 100 \\ \left(500 - \frac{Q}{2}\right)Q - \frac{(Q/2 + 50)^2}{2} - 100\left(\frac{Q}{2} - 50\right)^2, & 100 < Q \leq 400 \\ \left(\frac{1300 - Q}{3}\right) * Q - \frac{(Q/2 + 50)^2}{2} - 100\left(\frac{Q}{2} - 50\right)^2, & Q > 400 \end{cases}

На каждом интервале по Q график функции прибыли представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, максимум достигается в вершине параболы.

Прибыль на первом интервале: \Pi = \left(500 - \frac{Q}{2}\right)Q - \frac{(Q/2)^2}{2}, максимум при Q = 250, но найденная точка не принадлежит интервалу Q \leq 100.

Прибыль на третьем интервале: \Pi = \frac{1300 - Q}{3} * Q - \frac{(Q/2 + 50)^2}{2} - 100\left(\frac{Q}{2} - 50\right)^2, максимум при Q = 153, на найденная точка не принадлежит интервалу Q > 400.

Максимум прибыли достигается на интервале 100 < Q \leq 400 при Q = 300, P = 350. При этом товар будет продаваться только в регионе B, но часть этого объема производится в регионе A, а именно, в каждом регионе будет произведено:

q_A = \frac{Q}{2} + 50 = 200, \quad q_B = \frac{Q}{2} - 50 = 100.

Посчитаем и сравним прибыль монополиста в случае наличия (б) и отсутствия (а) транспортного сообщения между регионами:

\Pi(b) = 350 \cdot 300 - \frac{2002}{2} - 100 \cdot 100 - \frac{1002}{2} = 105000 - 20000 - 10000 - 5000 = 70000,

\Pi(a) = \Pi_A + \Pi_B = \left(200 \cdot 100 - \frac{1002}{2}\right) + \left(400 \cdot 200 - 100 \cdot 200 - \frac{2002}{2}\right) = 15000 + 40000 = 55000.

Прибыль в случае наличия транспортного сообщения оказалась выше.

Заметим, что с одной стороны после открытия сообщения монополист лишается возможности продавать товар в каждом регионе по различной цене, то есть возможности проводить ценовую дискриминацию между регионами, что, как правило, снижает его прибыль. Например, в данном случае монополист лишается рынка региона A. С другой стороны, у монополиста появляется возможность распределять производство товара между заводами, что приводит к снижению издержек производства при том же объеме выпускаемой продукции, что увеличивает прибыль монополиста. Таким образом, разноплановое действие двух эффектов, результат которых заранее не может быть определен.