Дядя Фёдор, Пёс и Ко
Дядя Фёдор, кот Матроскин, пёс Шарик и почтальон Печкин вместе ходят в школу. В качестве домашнего задания им задали разбиться на группы из двух человек, решить 20 задач и написать сочинение на 10 страниц (распределить задачи и страницы в паре ученики могут как угодно – могут даже поделить одну и ту же задачу или страницу сочинения в любой пропорции). Способности дяди Фёдора и его друзей представлены в таблице:
1) (7 баллов) Право выбирать себе пару первым выпало дяде Фёдору. Дядя Фёдор принимает решение, исходя из желания потратить на домашнее задание как можно меньше времени. С кем он объединится?
2) (13 баллов) Компания подумала ещё разок и решила, что каждый имеет право голоса и что они должны объединиться по обоюдному согласию – кто с кем захочет. Каждый при этом хочет потратить на домашнее задание как можно меньше своего времени. Какой в этом случае получится состав пар? Изменился ли он по сравнению с предыдущим пунктом? Почему?
3) (5 баллов) Друзья вспомнили, что собирались на поиски клада. За ним нужно отправиться как можно скорее, но пойдут они все вчетвером, а значит, смогут выйти из дома только когда обе пары закончат с уроками. Если теперь компания заинтересована в том, чтобы все сделали домашнее задание как можно быстрее, каким будет разбиение на пары? Отличается ли оно от предыдущих двух пунктов? Почему?
В каждом из пунктов нужно посчитать минимальное время, за которое пары могут сделать домашнее задание, а затем выбрать распределение, подходящее под вопрос задачи.
Пункт 1):
(2 балла) Дядя Фёдор + Кот: поскольку кот в два раза быстрее дяди Фёдора и в решении задач, и в написании сочинения, нам все равно какое из заданий отдать ему в первый час:
Если Кот решает задачи, а дядя Фёдор пишет сочинение, то за час Матроскин решит все задачи, а Фёдор – напишет половину сочинения. Им останется написать 5 страниц сочинения. По условию они могут делить их в любой пропорции. Их суммарная скорость письма – 15 стр/час. Значит, оставшиеся 5 страниц сочинения они вместе одолеют за 1/3 часа, то есть за 20 минут. Таким образом, они закончат домашнее задание за 1 час 20 минут.
(2 балла) Дядя Фёдор + Пёс: сочинение ДФ и Пёс пишут одинаково хорошо, а вот задачи Фёдор решает в два раза быстрее. Поэтому в первый час Фёдор будет решать задачи, а Пёс писать сочинение.
Тогда за первый час они решат половину задач и напишут половину сочинения, а со вторыми половинами управятся ещё за час. Таким образом, они завершат выполнение задания за 2 часа.
(2 балла) Дядя Фёдор + Печкин: Печкин значительно превосходит Фёдора в написании сочинения, значит в первый час почтальон будет писать, а дядя Фёдор – решать. За первый час они полностью напишут сочинение и решат 10 задач. Останется ещё 10 задач. С суммарной скоростью работы в 15 задач/час, они закончат за 1 час 40 минут.
Значит, дяде Фёдору выгоднее всего объединиться с Матроскиным (1 балл).
Если финальное время работы посчитано неправильно, но найдено правильное распределение заданий на первый час – ставился 1 балл из 2.
При отсутствии вычислений в этом пункте, но наличии их (конкретно этих трёх) в следующем, решения засчитывались как если бы они были записаны в первом пункте.
При отсутствии нужных вычислений в этом и следующих пунктах:
При наличии хорошего объяснения или рассуждения о том, что у Кота самая большая производительность в обоих предметах, что он быстрее всех выполняет оба задания и подобных полных формулировок ставилось 6 баллов за обоснование ответа и 1 балл за правильный ответ.
При наличии формулировок, подразумевающих перечисленные выше, но неполных – например, «кот самый быстрый/способный, поэтому Фёдору надо объединиться с ним» - ставилось 3 балла за обоснование и 1 балл за правильный ответ.
При наличии ответа без пояснений ставилось 0 баллов.
Пункт 2):
(2 балла) Кот + Пёс: Разрыв в скорости решения задач между Шариком и Матроскиным очень большой – в 4 раза, а вот в сочинении – всего в два, поэтому в первый час Кот будет решать задачи, а Пёс – писать сочинение. Тогда за первый час они выполнят почти всё задание – останется лишь написать 5 страниц сочинения. С этим совместными усилиями со скоростью 15 стр/час они справятся за 20 минут. Суммарное время работы – 1 час 20 мин.
(2 балла) Кот + Печкин: Печкин так же хорош в написании сочинения как и Кот, а вот задачи решает хуже. Значит в первый час им будет выгоднее, если Матроскин решит все задачи, а почтальон полностью напишет русский язык. Таким образом, они уложатся в 1 час.
(2 балла) Пёс + Печкин: задачи Шарик с Печкиным решают одинаково хорошо, а вот сочинение Печкин пишет в два раза быстрее. Значит, в первый час Печкин будет писать сочинение, а Шарик – решать задачи. Тогда они напишут все сочинение и решат 5 задач, останется ещё 15 задач. Они решают задачи со скоростью 10 задач в час, значит на 15 задач они потратят полтора часа. Таким образом, всего им понадобится 2 часа 30 минут.
(4 балла) Получается, что чтобы максимально сэкономить своё время, дядя Фёдор хочет объединиться с Котом, Печкин – тоже с Котом, Шарик – с котом, а Матроскин – с Печкиным.
(2 балла) Поскольку пары образуются по обоюдному согласию, Матроскин и Печкин хотят объединиться друг с другом – они образуют пару. Тогда вторая пара – дядя Фёдор и Шарик.
(1 балл) Ответ изменился в сравнении с предыдущим пунктом, потому что теперь каждый имеет право выбрать для себя наилучшую пару.
Промежуточные критерии аналогичны предыдущему пункту.
Пункт 3):
(2 балла) Теперь герои хотят разбиться так, чтобы все четверо закончили как можно скорее и отправились за кладом. Значит, разумно объединить самого производительного с самым медленным, чтобы они скомпенсировали друг друга.
(1 балл) Таким образом, надо объединить Матроскина с Шариком, а дядю Фёдора с Печкиным. В этом случае Кот и Пёс закончат за 1 час 20 минут, а потом подождут 20 минут ДФ и почтальона, которые закончат за 1 час 40 минут.
(2 балла) Новое разбиение отличается от предыдущих пунктов, поскольку теперь вместо того, чтобы эгоистично думать только о своём времени, герои стараются на благо всей компании в целом.