Эскалаторы

В Московском метро почти всегда можно заметить следующую ситуацию на эскалаторах: на правой стороне люди стоят, а на левой идут. Впрочем, иногда заняты и обе стороны стоячими. Эта задача хочет немного посмотреть на эти интересные равновесия и выяснить, какое из них лучше.

Допустим, за час одним эскалатором пользуются N=3000 человек. Если выбрать правую сторону эскалатора, то сначала придется выстоять очередь, время которой можно определить как N_R/1500 Nr/1500  минут, где N_R Nr  — количество людей, решивших тоже выбрать эту сторону. Само время спуска определим как T=6  минут.

Если идти по левой стороне, то в очереди стоять не нужно (потому что всем настолько лень это делать, что очередь), а сам спуск займет в w  раз меньше времени. Спуск по левой стороне связан с издержками 6w, т к. бегать быстро - сложновато :(

Чем больше человек ценит свое время, тем большие издержки он несет примем их как a_i*t, где a_i  — параметр, отражающий то, насколько сильно человек ценит свое время, а t — время в потраченное на очередь и спуск.

Есть три группы людей. 25\% от общего числа сильно торопятся, поэтому для них a_1=5. 50\%  не слишком торопятся, поэтому их a_2=33. Оставшиеся 25\% поймали дзен, поэтому у них a_3=1.

1. Пусть w=3. Найдите равновесие и полезности людей в разных группах.

2. Пусть w=2. Найдите равновесие и полезности людей в разных группах.

3. Руководство метро решило отменить возможность идти по эскалатору — теперь и слева можно только стоять. Теперь полезность людей на левой стороне эскалатора аналогична правому, только очередь зависит от N_L — количества людей, выбравших левый эскалатор. Как теперь распределяются люди по эскалаторам? Найдите среднюю полезность и сравните её с пунктом 1.

4. Если вы верно решили пункты 1) и 3), то могли заметить, что суммарная полезность уменьшилась. В то же время пропускная способность эскалатора увеличилась (доказательство последнего факта оставим за рамками задачи, хотя автор задачи порадуется, если вы его напишете). Объясните парадоксальную ситуацию.