Фискальная политика и неравенство
В закрытой экономике есть две равные по численности группы домохозяйств, доходы внутри каждой из которых распределены равномерно. До налогов/трансфертов первая группа получает 20\% ВВП страны, а вторая –– 80\%, и это верно для любого уровня ВВП. Функция суммарного потребления в каждой из двух групп имеет вид:
C(Y_d) = \begin{cases} 40 + 0{,}75Y_d; & Y_d < 340; \\ 210 + 0{,}25Y_d; & Y_d \geq 340, \end{cases}
где Y_d –– располагаемый доход группы (с учетом налогов/трансфертов), C –– потребление группы. Автономные инвестиции составляют 75, изначально госзакупки, налоги и трансферты равны нулю. Потенциальный ВВП составляет 1000.
а) ( 3 балла) Определите равновесный ВВП и располагаемый доход каждой из групп в отсутствие вмешательства государства.
Равновесный ВВП будет определяться из уравнения
Y=C(0,2Y)+C(0,8Y)+I. \ (6.1)
Предположим, что 0,2Y<340<0,8Y, то есть первая группа будет на левом участке функции потребления, а вторая —на правом. Тогда уравнение ((6.1) запишется как
\begin{aligned} Y &= 40 + 0{,}75 \cdot 0{,}2Y + 210 + 0{,}25 \cdot 0{,}8Y + 75 \\ Y &= 325 + 0{,}35Y \\ Y &= \frac{325}{0{,}65} = 500. \end{aligned}
0,2*500<340<0,8*500, так что корень подходит.
Докажем, что других корней нет. Перепишем уравнение (6.1) как
Y-C(0,2Y)-C(0,8Y)=75.
Заметим, что при любом Y коэффициент перед Y в левой части будет больше нуля. Значит, левая часть монотонно возрастает по Y, а значит, более одного корня быть не может.
Ответ: Y=500, доходы групп 100 и 400.
б) ( 4 балла) Допустим, государство перераспределяет часть дохода второй группы в пользу первой группы с помощью аккордных налогов T и трансфертов T_r. Бюджет сбалансирован, госзакупки отсутствуют. На какое наибольшее количество ден. ед. государство сможет увеличить ВВП с помощью такой политики? Сможет ли государство таким образом достичь потенциального ВВП?
Первый способ. Новое уравнение запишется как Y=C(0,2Y+T_r)+C(0,8Y-T)+75, где T=T_r –– размер налогов/трансфертов. Допустим, значения T и T_r достаточно малы, так что группы находятся по разные стороны от порогового значения Y=340, как в пункте а). Тогда равновесный ВВП будет удовлетворять уравнению Y=325+0,35Y+0,75T_r-0,25T=325+0,35Y+0,5T, откуда
Y = 500 + \frac{50}{65} T = 500 + \frac{10}{13} T \quad (6.2)
Эта величина растет по T, так что государству нужно увеличивать T, если оно хочет увеличить ВВП. Уравнение (6.2) верно, пока две группы находятся по разные стороны от порогового значения Y=340. Определим, при каких T это так. Располагаемый доход первой группы равен 0,2Y+T=0,2(500+10T/13)+T=100+15T/13, что не больше 340 при 100+15T/13/\leq 340, \ T \leq 13*240/15=13*16. Располагаемый доход второй группы равен 0,8Y-T=0,8(500+10T/13)-T=400-5T/13. Он не меньше 340 при 400-5T/13\geq 340, \ T\leq 13*12. Значит, уравнение (6.2) верно при T \leq min\{ 13*16, \ 13*12\}=13*12. При T>13*12 обе группы будут слева от точки излома Y=340, а значит ВВП будет определяться из уравнения Y=40+0,75*(0,2Y+T)+40+0,75*(0,8Y-T)+75=155+0,75Y, откуда Y=620 независимо от T. Иными словами, при T>13*12 ВВП расти не будет, а будет оставаться на уровне 620. Дальше, начиная с какого-то T, первая группа будет на правом участке функции потребления, а вторая –– на левом, то есть с учетом перераспределения первая станет богаче второй. В этом случае ВВП будет определяться из уравнения Y=240+0,25(0,2Y+T)+40+0,75(0,8Y-T), откуда получаем, что Y будет убывать по T. Значит, как максимум ВВП увеличится до уровня 620.
Второй способ. Заметим, что то, что бюджет по условию задачи сбалансирован, означает, что T=T_r. Тогда располагаемый доход первой группы можно представить в виде: Y_{d1}=0,2Y+T_r, а второй: Y_{d2}=0,8Y-T_r. После введения налога и выплаты каждый из этих вариантов.
(1). Y_{d1}<340 и Y_{d2}<340. Тогда:
\begin{aligned} C_1 &= 40 + 0{,}15Y + 0{,}75Tr \\ C_2 &= 40 + 0{,}6Y - 0{,}75Tr \\ C &= C_1 + C_2 = 80 + 0{,}75Y \\ Y &= C + I = 80 + 0{,}75Y + 75 \Rightarrow Y = 620 \\ \end{aligned}
\begin{cases} Y_{d1} = 124 + Tr \\ Y_{d2} = 496 - Tr \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 124 + Tr < 340 \\ 496 - Tr < 340 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} Tr < 216 \\ Tr > 156 \end{cases}
Множество решений системы непустое, значит, такое распределение возможно.
(2). Y_{d1} \geq 340 и Y_{d2}\geq 340. Тогда:
\begin{aligned} C_1 &= 210 + 0{,}05Y + 0{,}25Tr \\ C_2 &= 210 + 0{,}2Y - 0{,}25Tr \\ C &= C_1 + C_2 = 420 + 0{,}25Y \\ Y &= C + I = 420 + 0{,}25Y + 75 \Rightarrow Y = 660 \\ \end{aligned}
\begin{cases} Y_{d1} = 132 + Tr \\ Y_{d2} = 528 - Tr \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 132 + Tr \geq 340 \\ 528 - Tr \geq 340 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} Tr \geq 208 \\ Tr \leq 188 \end{cases}
Система не имеет решений, значит, такое распределение невозможно.
(3). Y_{d1}<340 и Y_{d2}\geq 340. Тогда:
\begin{aligned} C_1 &= 40 + 0{,}15Y + 0{,}75Tr \\ C_2 &= 210 + 0{,}2Y - 0{,}25Tr \\ C &= C_1 + C_2 = 250 + 0{,}35Y + 0{,}5Tr \\ Y &= C + I = 250 + 0{,}35Y + 0{,}5Tr + 75 \Rightarrow Y = 500 + \frac{10}{13}Tr. \end{aligned}
Заметим, что Y строго возрастает по T_r. Таким образом, чем больше будет T_r, тем большего Y удастся достигнуть. Найдём ограничения на T_r :
\begin{cases} 0{,}2Y + Tr < 340 \\ 0{,}8Y - Tr \geq 340 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 100 + \frac{15}{13}Tr < 340 \\ 400 - \frac{5}{13}Tr \geq 340 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} Tr < 208 \\ Tr \leq 156 \end{cases}
Максимально доступное значение T_r=156. Тогда Y = 500 + \frac{10}{13} *156 = 620.
(4). Y_{d1}\geq340 и Y_{d2}<340. Тогда:
\begin{aligned} C_1 &= 210 + 0{,}05Y + 0{,}25Tr \\ C_2 &= 40 + 0{,}6Y - 0{,}75Tr \\ C &= C_1 + C_2 = 250 + 0{,}65Y - 0{,}5Tr \\ Y &= C + I = 250 + 0{,}65Y - 0{,}5Tr + 75 \implies Y = 928\frac{4}{7} - \frac{10}{7}Tr. \end{aligned}
Заметим, что Y строго убывает по T_r. Таким образом, чем меньше будет T_r, тем большего Y удастся достигнуть. Найдём ограничения на T_r :
\begin{cases} 0{,}2Y + Tr > 340 \\ 0{,}8Y - Tr < 340 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1300}{7} + \frac{5}{7}Tr > 340 \\ \frac{5000}{7} - \frac{15}{7}Tr < 340 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} Tr > 216 \\ Tr > 188 \end{cases}
Минимально доступное значение T_r=216. Тогда Y=620. Таким образом, увеличить Y больше, чем до 620, не получится. В результате максимальное изменение ВВП составит 120 ден.ед., а потенциальный уровень ВВП не достигается.
Ответ: на 120 ден. ед., потенциальный уровень не достигается.
в) ( 2 балла) Приведите содержательное экономическое объяснение того, почему в данной модели перераспределительная политика может привести к увеличению ВВП.
Предельная склонность к потреблению бедных больше предельной склонности к потреблению богатых (0,25<0,75), поэтому перераспределение от богатых к бедным увеличивает суммарное потребление в экономике, а значит, и ВВП.
Примечание: на величину мультипликатора разброс mpc как таковой не влияет, на нее влияет лишь средневзвешенное mpc, 0,2mpc_1+0,8mpc_2.
г) ( 3 балла) Допустим, кроме аккордных налогов T и трансфертов T_r государство также может осуществлять госзакупки G, при этом бюджет должен быть сбалансирован. Определите, какие значения T, T_r, G следует ввести государству, чтобы минимизировать коэффициент Джини, характеризующий неравенство располагаемых доходов групп, при условии того, что ВВП достигнет потенциального уровня.
Найдем, при каких T, \ T_r, \ G располагаемые доходы будут равны и ВВП достигнет потенциального уровня. Поскольку группы одинаковой численности, при равных располагаемых доходах коэффициент Джини равен 0. Меньше 0 он быть не может, а значит, он будет минимален. Рассмотрим два случая.
1) Располагаемые доходы равны, и при этом обе группы находятся слева от Y_d=340. Тогда выполнена система
\begin{cases} 1000 = 40 + 0{,}75(0{,}2 \cdot 1000 + Tr) + 40 + 0{,}75(0{,}8 \cdot 1000 - T) + 75 + G; \\ T = G + Tr \\ 0{,}2 \cdot 1000 + Tr = 0{,}8 \cdot 1000 - T, \end{cases}
где первое уравнение есть основное макроэкономическое тождество, второе –– условие сбалансированности бюджета, третье –– равенство располагаемых доходов. Решая ее, получаем T=490, \ G=380, \ T_r=110. Располагаемые доходы при этом равны по 310<340, обе группы действительно слева.
2) Располагаемые доходы равны, и при этом обе группы находятся справа от Y_d=340. Тогда выполнена система
\begin{cases} 1000 = 210 + 0{,}25(0{,}2 \cdot 1000 + Tr) + 210 + 0{,}25(0{,}8 \cdot 1000 - T) + 75 + G; \\ T = G + Tr \\ 0{,}2 \cdot 1000 + Tr = 0{,}8 \cdot 1000 - T, \end{cases}
Решая ее, получаем, что располагаемый доход будет равен 330, что меньше 340, значит, гипотеза о том, что обе группы справа, не верна. Этот случай отбрасываем.
Можно доказать, что второй случай можно отбросить, и другим способом, без расчетов, в духе пункта а).
Ответ: T=490, \ G=380, \ T_r=110.