Первый способ. Новое уравнение запишется как Y=C(0,2Y+T_r)+C(0,8Y-T)+75, где T=T_r –– размер налогов/трансфертов. Допустим, значения T и T_r достаточно малы, так что группы находятся по разные стороны от порогового значения Y=340, как в пункте а). Тогда равновесный ВВП будет удовлетворять уравнению Y=325+0,35Y+0,75T_r-0,25T=325+0,35Y+0,5T, откуда

Y = 500 + \frac{50}{65} T = 500 + \frac{10}{13} T \quad (6.2)

Эта величина растет по T, так что государству нужно увеличивать T, если оно хочет увеличить ВВП. Уравнение (6.2) верно, пока две группы находятся по разные стороны от порогового значения Y=340. Определим, при каких T это так. Располагаемый доход первой группы равен 0,2Y+T=0,2(500+10T/13)+T=100+15T/13, что не больше 340 при 100+15T/13/\leq 340, \ T \leq 13*240/15=13*16. Располагаемый доход второй группы равен 0,8Y-T=0,8(500+10T/13)-T=400-5T/13. Он не меньше 340 при 400-5T/13\geq 340, \ T\leq 13*12. Значит, уравнение (6.2) верно при T \leq min\{ 13*16, \ 13*12\}=13*12. При T>13*12 обе группы будут слева от точки излома Y=340, а значит ВВП будет определяться из уравнения Y=40+0,75*(0,2Y+T)+40+0,75*(0,8Y-T)+75=155+0,75Y, откуда Y=620 независимо от T. Иными словами, при T>13*12 ВВП расти не будет, а будет оставаться на уровне 620. Дальше, начиная с какого-то T, первая группа будет на правом участке функции потребления, а вторая –– на левом, то есть с учетом перераспределения первая станет богаче второй. В этом случае ВВП будет определяться из уравнения Y=240+0,25(0,2Y+T)+40+0,75(0,8Y-T), откуда получаем, что Y будет убывать по T. Значит, как максимум ВВП увеличится до уровня 620.

Второй способ. Заметим, что то, что бюджет по условию задачи сбалансирован, означает, что T=T_r. Тогда располагаемый доход первой группы можно представить в виде: Y_{d1}=0,2Y+T_r, а второй: Y_{d2}=0,8Y-T_r. После введения налога и выплаты каждый из этих вариантов.

(1). Y_{d1}<340 и Y_{d2}<340. Тогда:

\begin{aligned} C_1 &= 40 + 0{,}15Y + 0{,}75Tr \\ C_2 &= 40 + 0{,}6Y - 0{,}75Tr \\ C &= C_1 + C_2 = 80 + 0{,}75Y \\ Y &= C + I = 80 + 0{,}75Y + 75 \Rightarrow Y = 620 \\ \end{aligned}

\begin{cases} Y_{d1} = 124 + Tr \\ Y_{d2} = 496 - Tr \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 124 + Tr < 340 \\ 496 - Tr < 340 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} Tr < 216 \\ Tr > 156 \end{cases}

Множество решений системы непустое, значит, такое распределение возможно.

(2). Y_{d1} \geq 340 и Y_{d2}\geq 340. Тогда:

\begin{aligned} C_1 &= 210 + 0{,}05Y + 0{,}25Tr \\ C_2 &= 210 + 0{,}2Y - 0{,}25Tr \\ C &= C_1 + C_2 = 420 + 0{,}25Y \\ Y &= C + I = 420 + 0{,}25Y + 75 \Rightarrow Y = 660 \\ \end{aligned}

\begin{cases} Y_{d1} = 132 + Tr \\ Y_{d2} = 528 - Tr \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 132 + Tr \geq 340 \\ 528 - Tr \geq 340 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} Tr \geq 208 \\ Tr \leq 188 \end{cases}

Система не имеет решений, значит, такое распределение невозможно.

(3). Y_{d1}<340 и Y_{d2}\geq 340. Тогда:

\begin{aligned} C_1 &= 40 + 0{,}15Y + 0{,}75Tr \\ C_2 &= 210 + 0{,}2Y - 0{,}25Tr \\ C &= C_1 + C_2 = 250 + 0{,}35Y + 0{,}5Tr \\ Y &= C + I = 250 + 0{,}35Y + 0{,}5Tr + 75 \Rightarrow Y = 500 + \frac{10}{13}Tr. \end{aligned}

Заметим, что Y строго возрастает по T_r. Таким образом, чем больше будет T_r, тем большего Y удастся достигнуть. Найдём ограничения на T_r :

\begin{cases} 0{,}2Y + Tr < 340 \\ 0{,}8Y - Tr \geq 340 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 100 + \frac{15}{13}Tr < 340 \\ 400 - \frac{5}{13}Tr \geq 340 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} Tr < 208 \\ Tr \leq 156 \end{cases}

Максимально доступное значение T_r=156. Тогда Y = 500 + \frac{10}{13} *156 = 620.

(4). Y_{d1}\geq340 и Y_{d2}<340. Тогда:

\begin{aligned} C_1 &= 210 + 0{,}05Y + 0{,}25Tr \\ C_2 &= 40 + 0{,}6Y - 0{,}75Tr \\ C &= C_1 + C_2 = 250 + 0{,}65Y - 0{,}5Tr \\ Y &= C + I = 250 + 0{,}65Y - 0{,}5Tr + 75 \implies Y = 928\frac{4}{7} - \frac{10}{7}Tr. \end{aligned}

Заметим, что Y строго убывает по T_r. Таким образом, чем меньше будет T_r, тем большего Y удастся достигнуть. Найдём ограничения на T_r :

\begin{cases} 0{,}2Y + Tr > 340 \\ 0{,}8Y - Tr < 340 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1300}{7} + \frac{5}{7}Tr > 340 \\ \frac{5000}{7} - \frac{15}{7}Tr < 340 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} Tr > 216 \\ Tr > 188 \end{cases}

Минимально доступное значение T_r=216. Тогда Y=620. Таким образом, увеличить Y больше, чем до 620, не получится. В результате максимальное изменение ВВП составит 120 ден.ед., а потенциальный уровень ВВП не достигается.

Ответ: на 120 ден. ед., потенциальный уровень не достигается.