Задание 9. МЭ ВСоШ 2024 (9 класс)
Фирма «Красная Шапочка и партнёры» плетёт корзинки и печёт вкусные пирожки. На рынке корзинок, который является совершенно конкурентным, сложилась цена в рублей за одну корзинку. Рынок вкусных пирожков целиком принадлежит фирме «Красная Шапочка и партнёры», а функция спроса на нём имеет вид , где – цена одного вкусного пирожка в рублях, а – величина спроса на вкусные пирожки за неделю. Фирма имеет один ограниченный фактор производства – труд, объём которого равен человеко-часам в неделю. На то, чтобы сплести одну корзинку, уходит человеко-часа, а на то, чтобы испечь партию из пирожков, уходит человеко-часов. Определите, чему равна наибольшая выручка в рублях фирмы «Красная Шапочка и партнёры» за неделю, если корзинки могут быть только целыми, а пирожки можно печь только целыми партиями.
Ответ: .
Решение: проанализируем функцию выручки от продажи пирожков:
Выражение выше представляет собой квадратичную функцию с ветвями вниз, наибольшее значение достигается в точке
Равновесный объём пирожков при этом равен , что соответствует партиям. Соответственно, производить более партий пирожков нецелесообразно.
Альтернативные предельные издержки на производство одной партии пирожков постоянны и равны двум корзинкам, что эквивалентно рублям (столько выручки недополучает фирма, если производит очередную партию пирожков вместо корзинок). Предельная выручка от производства следующей партии пирожков составляет:
Определим, в какой момент она достигает рублей:
Исходя из того, что предельная выручка убывает по выпуску, производить пирожка уже является неоптимальным решением – вместо этого выгоднее произвести пирожка и на корзинки больше. С учетом кратности это и есть оптимум фирмы по пирожкам.
После производства пирожков ( партий) у фирмы останется человеко-часов, что позволит сплести корзинок. Итоговая выручка фирмы составит
Рассуждения можно было провести и простым перебором «вниз» от партий пирожков:
Выручка от партий пирожков ( человеко-часов на пирожки, на корзинки, то есть будет корзинок):
Выручка от партий пирожков ( человеко-часов на пирожки, на корзинки, то есть будет корзинок):
Выручка от партий пирожков ( человеко-часа на пирожки, на корзинки, то есть будет корзинок):
После производства пирожков ( партий) у фирмы останется человеко-часов, что позволит сплести корзинок. Итоговая выручка фирмы составит
Выручка от партий пирожков ( человеко-часов на пирожки, на корзинки, то есть будет корзинок):
Следовательно, оптимально производить партии, выручка составит .
За верный ответ – баллов.