Задание 9. МЭ ВСоШ 2024 (9 класс)
Фирма «Красная Шапочка и партнёры» плетёт корзинки и печёт вкусные пирожки. На рынке корзинок, который является совершенно конкурентным, сложилась цена в 56 рублей за одну корзинку. Рынок вкусных пирожков целиком принадлежит фирме «Красная Шапочка и партнёры», а функция спроса на нём имеет вид Q=96-3P, где P – цена одного вкусного пирожка в рублях, а Q – величина спроса на вкусные пирожки за неделю. Фирма имеет один ограниченный фактор производства – труд, объём которого равен 80 человеко-часам в неделю. На то, чтобы сплести одну корзинку, уходит 4 человеко-часа, а на то, чтобы испечь партию из 8 пирожков, уходит 8 человеко-часов. Определите, чему равна наибольшая выручка в рублях фирмы «Красная Шапочка и партнёры» за неделю, если корзинки могут быть только целыми, а пирожки можно печь только целыми партиями.
Ответ: 1360.
Решение: проанализируем функцию выручки от продажи пирожков:
TR=(96-3P)*P
Выражение выше представляет собой квадратичную функцию с ветвями вниз, наибольшее значение достигается в точке P^* = \frac{-96}{2 \cdot (-3)} = 16
Равновесный объём пирожков при этом равен 96-3*16=48, что соответствует 6 партиям. Соответственно, производить более 6 партий пирожков нецелесообразно.
Альтернативные предельные издержки на производство одной партии пирожков постоянны и равны двум корзинкам, что эквивалентно 112 рублям (столько выручки недополучает фирма, если производит очередную партию пирожков вместо корзинок). Предельная выручка от производства следующей партии пирожков составляет:
MR = TR_{Q+8} - TR_Q = \frac{96 - (Q + 8)}{3} \cdot (Q + 8) - \frac{96 - Q}{3} \cdot Q \\ MR = \frac{960 + 96 \cdot 8 - (Q^2 + 16Q + 64) - 960 + Q^2}{3} = \frac{704 - 16Q}{3}
Определим, в какой момент она достигает 112 рублей:
\frac{704 - 16Q}{3} = 112 \rightarrow Q = \frac{704 - 112 \cdot 3}{16} = 23
Исходя из того, что предельная выручка убывает по выпуску, производить 32 пирожка уже является неоптимальным решением – вместо этого выгоднее произвести 24 пирожка и на 2 корзинки больше. С учетом кратности 8 это и есть оптимум фирмы по пирожкам.
После производства 24 пирожков ( 3 партий) у фирмы останется 80-3*8=56 человеко-часов, что позволит сплести 14 корзинок. Итоговая выручка фирмы составит TR = 24 \cdot \frac{96 - 24}{3} + 14 \cdot 56 = 576 + 784 = 1\,360
Рассуждения можно было провести и простым перебором «вниз» от 6 партий пирожков:
Выручка от 6 партий пирожков ( 48 человеко-часов на пирожки, 80-48=32 на корзинки, то есть будет 32/4=8 корзинок):
TR = 48 \cdot \frac{96 - 48}{3} + 8 \cdot 56 = 768 + 448 = 1\,216
Выручка от 5 партий пирожков ( 40 человеко-часов на пирожки, 80-40=40 на корзинки, то есть будет 40/4=10 корзинок):
TR = 40 \cdot \frac{96 - 40}{3} + 10 \cdot 56 = 746{,}7 + 560 = 1306{,}7
Выручка от 4 партий пирожков ( 32 человеко-часа на пирожки, 80-32=48 на корзинки, то есть будет 48/4=12 корзинок):
TR = 32 \cdot \frac{96 - 32}{3} + 12 \cdot 56 = 682{,}3 + 672 = 1344{,}3
После производства 24 пирожков ( 3 партий) у фирмы останется 80-3*8=56 человеко-часов, что позволит сплести 14 корзинок. Итоговая выручка фирмы составит TR = 24 \cdot \frac{96 - 24}{3} + 14 \cdot 56 = 576 + 784 = 1360
Выручка от 2 партий пирожков ( 16 человеко-часов на пирожки, 80-16=64 на корзинки, то есть будет 64/4=16 корзинок):
TR = 16 \cdot \frac{96 - 16}{3} + 16 \cdot 56 = 426{,}7 + 896 = 1322{,}7 < 1360
Следовательно, оптимально производить 3 партии, выручка составит 1360.
За верный ответ – 8 баллов.