Задача 2. МЭ ПОШ – 2020 (10-11 класс)

Решение 1.

Для начала запишем первый вариант: мы производим 30 и более единиц гаджетов. Тогда виджетов мы производим не более 20 (ввиду того, что мы потратили 30 часов на гаджеты, у нас осталось 20 часов на виджеты). А значит, производительность виджетов низкая. Мы уже потратили 30 единиц труда на производство гаджетов. Теперь один гаджет мы производим за полчаса, один виджет — за час. Из оставшихся 20 часов мы сможем максимально произвести 40 единиц гаджетов. Ввиду постоянной производительности получаем линейный участок КПВ y=35-0,5x, \ x\geq 30. [ 1 балл].

Аналогично решаем для случая, когда мы производим 20 и более единиц виджетов. Тогда мы уже потратили 20 единиц труда на виджеты. А значит, гаджеты мы производим с низкой производительностью. Теперь один виджет мы производим за полчаса, один гаджет — за час. Из оставшихся 30 часов мы сможем максимально произвести 60 единиц виджетов. Ввиду постоянной производительности получаем линейный участок КПВ y=80-2x, \ x<30. [ 1 балл].

Тогда итоговая КПВ будет иметь вид:

y = \begin{cases} 80 - 2x & x < 30 \\ 35 - 0.5x & x \geq 30 \end{cases} [ 2 балла]

График КПВ:

Решение 2.

Суммарно у нас есть 50 часов. Пусть L_x — количество часов, которое мы тратим на производство гаджетов, и L_y — количество часов, которое мы тратим на производство виджетов. Тогда L_x+L_y=50. Теперь выведем зависимости произведенных гаджетов и виджетов от количества труда:

x = \begin{cases} l_x, & l_x \leq 30 \\ 2(l_x - 30) + 30, & l_x > 30 \end{cases} \\ y = \begin{cases} l_y, & l_y \leq 20 \\ 2(l_y - 20) + 20, & l_y > 20 \end{cases}

Рассмотрим поподробнее случай 2(L_x-30)+30 (при L_x>30 ). Данная запись обозначает, что мы произвели 30 единиц, а все последующие мы производим с удвоенной производительностью. Аналогично для L_y.

Упростим выражение:

x = \begin{cases} l_x, & l_x \leq 30 \\ 2l_x - 30, & l_x > 30 \end{cases} \\ y = \begin{cases} l_y, & l_y \leq 20 \\ 2l_y - 20, & l_y > 20 \end{cases}

Заметим, что если L_x\leq 30, то L_y\geq 20, и наоборот. А значит, у нас не получится ситуация, когда мы оба товара производим эффективно или неэффективно, — мы всегда будем производить эффективно только один из товаров.

Случай 1. Тратим на x не менее 30 часов, а на y тогда не более 20 часов. Значит, мы эффективно производим гаджеты:

\begin{cases} \chi = 2l_x - 30 \\ y = l_y \\ l_x + l_y = 50 \end{cases}

y = 50 − 15 − 0,5x

y = 35 − 0,5x

Случай 2. Тратим на y не менее 20 часов, а на x тогда не более 30 часов. Значит, мы эффективно производим виджеты:

\begin{cases} x = l_x \\ y = 2l_y - 20 \\ l_x + l_y = 50 \end{cases}

0,5y = 50 − 10 − x

y = 80 − 2x

Тогда получаем итоговую КПВ:

y = \begin{cases} 80 - 2x & x < 30 \\ 35 - 0.5x & x \geq 30 \end{cases}

График КПВ:

Решение 3.

Суммарно у нас есть 50 часов. Пусть L_x — количество часов, которое мы тратим на производство гаджетов, и L_y — количество часов, которое мы тратим на производство виджетов. Тогда L_x+L_y=50. А значит, если у нас нет изменений в производительности, мы будем иметь КПВ: x+y=50.

Построим ее график:

Теперь определим, что, если мы стоим в точке 30 по гаджетам, мы можем начать производить гаджеты с улучшенной производительностью: в 2 раза больше за то же время. Виджеты при этом мы будем производить как и раньше — за час. Тогда наклон КПВ после точки (30;20) уменьшится в два раза (данный эффект вогнутой КПВ возникает в силу того, что альтернативные издержки падают из-за повышения производительности):

Будем рассуждать аналогично для виджетов. В точке 20 по виджетам мы можем начать производить виджеты с улучшенной производительностью: в 2 раза больше за то же время. Гаджеты при этом мы будем производить как и раньше — за час. Тогда наклон КПВ перед точкой (30;20) увеличится в два раза (данный эффект вогнутой КПВ возникает в силу того, что альтернативные издержки падают из-за повышения производительности):

Совмещая данные случаи, приходим к итоговому виду КПВ:

Или же

Далее запишем уравнение КПВ:

y = \begin{cases} 80 - 2x & x < 30 \\ 35 - 0.5x & x \geqslant 30 \end{cases}