S026
В расчете на месяц гражданка N имеет следующую функцию полезности: U=f(X, Y), где X – число пирожных-эклеров, Y – расходы на все остальные товары (в рублях). Предельная полезность (MU) эклеров подчиняется следующей закономерности:
MU первого эклера равна 100 единицам полезности,
MU второго эклера на 1 единицу меньше, чем MU первого,
MU третьего эклера на 2 единицы меньше, чем MU второго,
MU четвертого эклера на 3 единицы меньше, чем MU третьего. И так далее.
MU первого рубля, потраченного на все остальные товары, равна 100 единицам полезности. MU второго рубля равна 99, MU третьего рубля равна 98, MU четвертого рубля равна 97. И так далее. Месячный бюджет гражданки N составляет 640 рублей.
Определите дуговую эластичность спроса гражданки N на эклеры на интервале цены P_X=\in[10;18].
MU_X = 100 - \frac{1 + (X - 1)}{2} \cdot (X - 1) = -0.5X^2 + 100. MU_Y = 100 - (Y - 1) = 101 - Y.
640 = P_X X + Y. Y = 640 - P_X X. MU_Y = 101 - Y = 101 - (640 - P_X X) = P_X X - 539.
Условие оптимума: \frac{MU_X}{P_X} = \frac{MU_Y}{P_Y}. Очевидно, цена одной единицы товара Y (т.е. одного рубля) равна одному рублю. \frac{-0.5X^2 + 0.5X + 100}{P_X} = \frac{P_X X - 539}{1}.
При P_1=10 получаем уравнение: – 0,5X_1^2 – 99,5X_1 + 5490 = 0. Х_1 = 45 (второй корень получается отрицательным и не подходит по смыслу задачи).
При P_2=18 : – 0,5X_2^2 – 323,5X_2 + 9802 = 0. X_2=29 (второй корень также отрицателен).
Дуговая эластичность спроса:
\varepsilon = \frac{X_2 - X_1}{P_2 - P_1} \times \frac{P_1 + P_2}{X_1 + X_2} = \frac{29 - 45}{18 - 10} \times \frac{10 + 18}{45 + 29} = -\frac{28}{37}.
Ответ: -\frac{28}{37}.