Задача 4 ОЧ-2018 9 класс
На рынке резиновых уточек действует фирма-монополист LaTeX . Конечно же, количество резиновых уточек может выражаться только целым неотрицательным числом. Известно, что функция спроса на них линейна, причём при цене 9 руб. потребители хотят купить 15 уточек, а при цене 37 руб. – всего 1 уточку.
Производство резиновых уточек не требует больших первоначальных вложений – завод у LaTeX уже есть, но нужно выплатить зарплату охраннику в размере 10 рублей. Других постоянных издержек монополист не несёт.
Производство каждой следующей уточки увеличивает предельные издержки их производства на 4 руб. Общие издержки на производство 10 резиновых уточек составляют 240 руб.
(а) Выведите функцию спроса на резиновых уточек.
(б) Выведите функцию общих издержек фирмы LaTeX .
(в) Определите, сколько уточек будет продавать монополист и по какой цене.
(а) По 2 точкам выводится линейная функция спроса P_d(Q)=39-2Q
(б) FC = 10, TC(10) = 240 \rightarrow VC(10) = 230. MC(Q) = c + 4Q из условия.
Используем эти условия для нахождения функции издержек. Поскольку уточки могут быть только целыми, то
VC(1) = MC(1) = c + 4,
VC(2) = MC(1) + MC(2) = (c + 4) + (c + 8)
VC(3) = MC(1) + MC(2) + MC(3) = (c + 4) + (c + 8) + (c + 12), \dots,
VC(Q) = MC(1) + \dots + MC(Q) = (c + 4) + \dots (c + 4Q) = cQ + 2Q + 2Q^2
Мы знаем, что VC(10)=230, откуда находим c=1 и итоговую функцию общих издержек
TC(Q) = 2Q^2 + 3Q + 10
(в) TR(Q)=39Q-2Q^2
Запишем функцию прибыли PR(Q)=36Q-4Q^2 и промаксимизируем ее по Q с учетом целочисленности, в результате чего получим Q^*=4 или Q^*=5 и P^*=31 или P^*=29 соответственно.