Запишем целевую функцию фирмы с учетом того, что \pi=TR-TC,

, TR=PQ, TC=wL, P=120-Q, w=4L, Q=2L, u=(30-L)/100*100\% :

B=(120-2L)*2L-4L*L+16(100-(30-L)).

После упрощения получаем B=-8L^2+256L+1120. Это квадратичная парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке L^*=16.

Тот же ответ можно получить, взяв производную функции (B'=-16L+256) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с + на - (варианты: первая производная убывает, вторая производная равна -16, то есть отрицательна), так что это точка максимума.

Примечание:

В этой задаче не будут работать стандартные формулы для ценообразования монополии (MR=MC, MRP_L=MC_L, связь индекса Лернера и эластичности спроса и т. п.), так как целевая функция фирмы — не прибыль.

Уровень безработицы составит

u^*=(100-70-16)/100*100\%=14\%.

Прибыль фирмы равна \pi=(120-2L)*2L-4L*L. Это квадратичная парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке L^*=15.

Тот же ответ можно получить, взяв производную функции (\pi'=-16L+240) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с + на - (варианты: первая производная убывает, вторая производная равна -16, то есть отрицательна), так что это точка максимума.

Уровень безработицы в этом случае составил бы

u^{**}=(100-75-15)/100*100\%=15\%,

то есть на 1 процентный пункт больше.

Альтернативное решение.

Выше представлена максимизация по переменной L, поскольку ее непосредственно просят найти в задаче. С не меньшим успехом можно было бы выразить функцию прибыли через w, Q или P (во всех случаях она оказалась бы квадратичной параболой с ветвями вниз), максимизировать, а затем перейти к L. В случае корректного решения должно получаться:

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Выражение для } B & \text{Выражение для } \pi & \max B & \max \pi \\ \hline -\frac{w^2}{2} + 64w + 1120 & -\frac{w^2}{2} + 60w & w^\star = 64 & w^{\star\star} = 60 \\ -2Q^2 + 128Q + 1120 & 120Q - 2Q^2 & Q^\star = 32 & Q^{\star\star} = 30 \\ -2P^2 + 352P - 12320 & -2P^2 + 360P - 14400 & P^\star = 88 & P^{\star\star} = 90 \\ \hline \end{array}