Справедливый Джинни
В некоторой стране есть бесконечно много разных СМИ и статистических агентств. Как то раз в этой стране объявили год Джинни. Из-за этого все эти заведения решили посчитать коэффициент Джинни. К сожалению, все талантливые экономисты этой страны находятся в неком институте «Малый колледж экономики» и в подсчете не участвуют. В силу безграмотности все эти сми и агентства не умеют нормально считать неравенство в этой стране. Кривая Лоренца каждого агентства задается так:
.
Разумеется, все не настолько плохо, поэтому кривая Лоренца этих агентств ограничена по и по (если выходит за границу, то превращается в горизонтальный или вертикальный участок). Параметр определяется для каждого агента случайно и равновероятностно, при этом принадлежит . Некое агентство «Атикин&Атикин» решило подсчитать Джинни на основе всех данных, полученных другими агентствами. Для этого оно взяло все кривые Лоренца, перерисовала на один график и взяла нижнюю огибающую обозвав ее кривой Лоренца. Какой коэффициент Джинни в итоге получился у агентства «Атикин&Атикин»?
Поскольку у нас бесконечное количество агентств, то для любого , в том числе нецелых, из промежутка существует своя кривая Лоренца. Итоговая кривая Лоренца представляет собой наложение всех кривых Лоренца друг на друга, от которого взяли нижнюю огибающую. Максимальное расстояние между кривой Лоренца, для любой из предложенных нам парабол, и кривой абсолютного равенства будет в точке, где производная этой параболы равна . Построим два крайних случая при и , а также касательную к ним с наклоном .
На левой картинке , на правой .
Теперь докажем, что нижней огибающей всего будет именно: кусок параболы до точки с касательной, затем прямая (касательная), а затем кусок параболы после точки с производной . Рассмотрим кусок параболы до точки касания. При увеличении с нуля он будет переезжать вправо и вверх, при чём его крайние точки всегда будут лежать на фиолетовом и красном кусках. Заметим, что у каждого куска нет пересечений с предыдущими. (Это можно доказать, если найти точку пересечения двух парабол с разными параметрами от этих самых параметров). При этом он весь лежит над куском параболы при , и заключен между фиолетовой и красной прямой. То есть все возможные такие куски параболы находятся внутри очерченной нами площади. Остановится он только при , и этот крайний кусок как видно из графика выше полностью лежит в очерченной нами площади. Аналогично докажем и для куска параболы после точки касания. При уменьшении верхний кусок будет смещаться вниз, при этом он заключен между красной и фиолетовой прямой, а также полностью лежит под уже имеющемся куском при . То есть все эти куски параболы лежат в очерченной нами площади.
Итак, финальный вид кривой Лоренца:
Остается подсчитать коэффициент Джинни:
Ответ: .