Налоги, инфляция и яблоки
Фирма «ЯЯЯ» действует на конкурентном рынке и производит яблоки, используя технологию Q=10\sqrt L, где L — количество труда, Q — выпуск в центнерах. Реальная заработная плата постоянна и равна 2, реальная цена яблок постоянна и равна 1. Оплата труда производится в начале года, а продажа урожая –– в конце.
Реальная ставка процента в экономике равна 0. В стране наблюдается инфляция с темпом \pi\geq 0 за год (цены в конце года связаны с ценами начала года как P_1=P_0(1+\pi) ).
В конце года фирма платит налог на прибыль по ставке t(0\leq t<1). Налог взимается с номинальной бухгалтерской прибыли (разницы между номинальной выручкой и номинальными издержками на оплату труда), без корректировки на инфляцию. Фирма стремится максимизировать свою реальную прибыль после налогообложения.
а) ( 5 баллов) Рассмотрим ситуацию стабильных цен (\pi=0). Найдите оптимальный выпуск фирмы.
Выразим количество труда через выпуск:
Q = 10\sqrt{L} \implies \sqrt{L} = \frac{Q}{10} \implies L = \frac{Q^2}{100}
Обозначим P_0 — уровень цен в начале года.
- Номинальная зарплата (t = 0): w_{\text{nom}} = 2P_0.
- Номинальные издержки на труд: TC_{\text{nom}} = 2P_0L.
- Номинальная цена яблок (t = 1): P_{\text{apples}} = 1 \cdot P_1 = P_0(1 + \pi).
- Номинальная выручка: TR_{\text{nom}} = P_0(1 + \pi)Q.
(\pi=0) Если цены стабильны (\pi=0), то P_1=P_0. Инфляционных искажений нет.
Реальная прибыль:
\Pi_{\text{real}} = (1 - t)(TR - TC)_{\text{real}} = (1 - t)(Q - 2L) = (1 - t)\left(Q - \frac{2Q^2}{100}\right)
Максимизируем по Q :
\Pi'_Q = (1 - t)\left(1 - \frac{4Q}{100}\right) = 0
Так как t<1, можно сократить на (1-t) :
1 - \frac{Q}{25} = 0 \implies Q^* = 25
Ответ: 25.
б) ( 5 баллов) Рассмотрим ситуацию отсутствия налогов (t=0), но наличия инфляции (\pi>0). Найдите оптимальный выпуск.
(t=0, \ \pi>0) Если налогов нет, фирма максимизирует реальную прибыль:
\Pi_{\text{real}} = \frac{TR_{\text{nom}}}{P_1} - \frac{TC_{\text{nom}}}{P_0} = \frac{P_0(1 + \pi)Q}{P_0(1 + \pi)} - \frac{2P_0L}{P_0} = Q - 2L
(Здесь мы учли, что реальная ставка процента равна 0, поэтому реальные издержки, понесенные в начале года, просто вычитаются).
\Pi_{\text{real}} = Q - \frac{2Q^2}{100}
Максимизация дает тот же результат:
1 - \frac{Q}{25} = 0 \implies Q^* = 25
Ответ: 25.
в) ( 10 баллов) Выведите формулу оптимального выпуска для случая t>0, \pi>0. Как выпуск зависит от ставки налога и темпа инфляции (убывает или возрастает)?
Номинальная налогооблагаемая прибыль:
\Pi_{\text{nom}} = TR_{\text{nom}} - TC_{\text{nom}} = P_0(1 + \pi)Q - 2P_0L
Сумма налога: T = t \cdot \Pi_{\text{nom}}. Реальная прибыль после налога (все номинальные потоки конца года делим на P_1, реальные издержки начала года остаются неизменными):
\Pi_{\text{real}} = \frac{TR_{\text{nom}} - T}{P_1} - 2L
\Pi_{\text{real}} = Q - t \left( Q - \frac{2P_0L}{P_0(1 + \pi)} \right) - 2L
\Pi_{\text{real}} = (1 - t)Q + \frac{2tL}{1 + \pi} - 2L = (1 - t)Q - 2L \left( 1 - \frac{t}{1 + \pi} \right)
\Pi_{\text{real}} = (1 - t)Q - 2L \left( \frac{1 + \pi - t}{1 + \pi} \right)
Подставим L=Q^2/100 :
\Pi(Q) = (1 - t)Q - \frac{Q^2}{50} \left( \frac{1 + \pi - t}{1 + \pi} \right)
Максимизируем по Q :
\Pi'_Q = (1 - t) - \frac{2Q}{50} \left( \frac{1 + \pi - t}{1 + \pi} \right) = 0
\frac{Q}{25} \left( \frac{1 + \pi - t}{1 + \pi} \right) = 1 - t
Q^* = 25 \cdot \frac{(1 - t)(1 + \pi)}{1 + \pi - t}
Анализ зависимости:
- От ставки налога t : Числитель (1-t) убывает по t. Знаменатель (1+\pi-t) тоже убывает, но медленнее (так как в числителе t умножается на 1+\pi, а в знаменателе нет). Возьмем производную множителя f(t) = \frac{1-t}{1+\pi-t}. f'(t) = \frac{-1(1+\pi-t)-(-1)(1-t)}{(1+\pi-t)^2} = \frac{-1-\pi+t+1-t}{(1+\pi-t)^2} = -\frac{\pi}{(1+\pi-t)^2} < 0.
Вывод: С ростом налога t выпуск уменьшается.
Примечание: Это происходит потому, что из-за инфляции фирма вычитает из выручки «обесценившиеся» издержки, то есть налогооблагаемая база завышена. Чем выше ставка налога t, тем сильнее этот эффект бьет по фирме.
- От инфляции \pi : Преобразуем выражение: Q^* = 25(1 - t) \left( 1 + \frac{t}{1+\pi-t} \right). С ростом \pi знаменатель дроби \frac{t}{1+\pi-t} растет, сама дробь уменьшается.
Вывод: С ростом инфляции \pi выпуск уменьшается.
Примечание: Это происходит потому, что инфляция превращает налог на прибыль в налог на оборотный капитал (издержки), так как не позволяет вычесть полную реальную стоимость понесенных затрат.