Три тарифа
Компания Еле2 является единственным сотовым оператором в городе Z -ске. В преддверии новогодних праздников компания обновила линейку тарифов, к которым жители Z -ска могут подключиться. Новая линейка состоит из трех тарифов, отличающихся ценой звонков и текстовых сообщений (SMS). Цена разных видов услуг для этих тарифов приведена в таблице:
\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{\textbf{Тариф}} & \text{\textbf{Обычный}} & \text{\textbf{Новогодний}} & \text{\textbf{Рождественский}} \\ \hline \text{Цена звонков (руб/мин)} & 5 & 2 & 8 \\ \hline \text{Цена СМС (сообщ/мин)} & 3 & 7 & 1 \\ \hline \end{array}
У разных жителей города разные потребности в услугах Еле2: кому-то нужно больше звонить, другие общаются в основном посредством SMS, кто-то активно пользуется обоими видами связи, а некоторые предпочитают личное общение. Пусть x — количество минут звонков, которое в течение месяца совершает житель города, а y — количество текстовых сообщений, которое он отправляет (эти параметры для каждого жителя не зависят от цен на услуги связи). Каждый житель может выбрать только один тариф. Определите для всевозможных пар (x;y), таких что 0\leq x\leq 1000 и 0\leq y\leq 1000, какой тариф выберет житель города для минимизации своих расходов на связь. Для наглядности отметьте в координатах (x,y) множества точек, соответствующие выбранным тарифам (если бывают такие пары (x,y), для которых оптимальными являются несколько тарифов, отметьте и подпишите эти множества тоже).
Представим издержки при использовании каждого из тарифов как функцию от x и y :
f_1(x, y) = 5x + 3y; \quad f_2(x, y) = 2x + 7y; \quad f_3(x, y) = 8x + y.
Попарно сравним эти издержки:
f_1(x, y) \leq f_2(x, y) \iff 5x + 3y \leq 2x + 7y \iff 3x - 4y \leq 0.
f_1(x, y) \leq f_3(x, y) \iff 5x + 3y \leq 8x + y \iff 3x - 2y \geq 0.
f_2(x, y) \leq f_3(x, y) \iff 2x + 7y \leq 8x + y \iff x - y \geq 0.
Таким образом, тариф "Обычный" не хуже двух других на множестве
\left\{(x, y) \mid \frac{3x}{4} \leq y \leq \frac{3x}{2}, 0 \leq x, y \leq 1000 \right\},
тариф "Новогодний" не хуже двух других на множестве
\left\{(x, y) \mid y \leq \frac{3x}{4}, 0 \leq x, y \leq 1000 \right\},
тариф "Рождественский" не хуже двух других на множестве
\left\{(x, y) \mid y \geq \frac{3x}{2}, 0 \leq x, y \leq 1000 \right\}.
На плоскости (x,y) области оптимальности тарифов выглядят так, как показано на рисунке. В области I оптимальным является тариф "Рождественский", в области II оптимальным является тариф "Обычный", в области III оптимальным является тариф "Новогодний". На границе областей I и II самыми выгодными тарифами являются "Рождественский" и "Обычный", а на границе областей II и III самыми выгодными тарифами являются "Обычный" и "Новогодний".