а) Утверждение, что житель с медианным доходом находится при x=1/2, потому что жители расположены в порядке возрастания доли дохода по оси O_x.

y=x^2 тогда медианный доход ЭШВ: y'_x(0{,}5) \cdot \frac{I_1}{N_1} = \frac{I_1}{N_1}

I_1=I_2=I/2, где I_1, I_2, I -- совокупные доходы ЭШВ, ШЭР и объединенной страны соответственно.

N_1=N_2=N/2, где N_1, N_2, N -- населения ЭШВ, ШЭР и объединенной страны соответственно.

1) y=ax^2, так как y_1 = 0{,}5x; \ x_1 = 0{,}5x \Rightarrow 2y_1 = y; \ 2x_1 = x \Rightarrow

2y_1 = (2x_1)^2 \Rightarrow y_1 = 2x_1^2

Доля дохода беднейшей группы в стране ЭШВ был 0,25 из-за увеличения общего дохода в 2 раза она становится 0,125. Аналогично, для доли населения.

\frac{1}{8} = a \cdot (0{,}25)^2

a=2.

2) Строим по двум точкам участок страны ШЭР, который параллелен линии абсолютного равенства.

y=-1/8+x.

3) Аналогично, для 3 участка. y=ax^2+bx+c.

y' = 2a + b \\ y(1) = 1, \ y(0{,}75) = 0{,}625 \\ a + b + c = 1 \\ a \cdot \frac{9}{16} + b \cdot \frac{3}{4} + 1 - a - b = \frac{5}{8} \\ y'(0{,}75) = y'(1) = 2ax + b = \frac{6}{4}a + b = 1

\begin{cases} a + b + c = 1 \\ a \cdot \frac{9}{16} + b \cdot \frac{3}{4} + 1 - a - b = \frac{5}{8} \\ \frac{6}{4}a + b = 1 \end{cases}

a=2, b=2, c=1

Итоговая запись кривой Лоренца:

\begin{cases} 2x^2, & x \in [0; 0{,}25] \\ -\frac{1}{8} + x, & x \in [0{,}25; 0{,}75] \\ 2x^2 - 2x + 1, & x \in [0{,}75; 1] \end{cases}

б) G_1=1/3 (для ЭШВ)

G_2=0 (для ШЭР)

G_3 -- коэффициент Джини для объединенной страны.

S=S_1+S_2+S_3, где S_1, S_2, S_3 -- три площади под графиком объединенной страны. \\

S = \frac{1}{96} + \frac{19}{96} + \frac{3}{16} = \frac{19}{48} \\ G_3 = 1 - 2S = 1 - \frac{2 \cdot 19}{48} = \frac{5}{24} \\ \lvert G_3 - G_1 \rvert = \frac{1}{8} \\ \lvert G_3 - G_2 \rvert = \frac{5}{24}

Ответ:

a) \begin{cases} 2x^2, & x \in [0; 0{,}25] \\ -\frac{1}{8} + x, & x \in [0{,}25; 0{,}75] \\ 2x^2 - 2x + 1, & x \in [0{,}75; 1] \end{cases}

б) для G_1 дельта 1/8 ; для G_2 дельта 5/24.