«Маскилон»
Завод фирмы-монополиста «Маскилон» может производить два типа крупногабаритных товаров: космические корабли и ракеты-носители. Издержки производства космических кораблей и ракет-носителей равны TC(q_k) = q_k^2 + 2q_k и TC(q_p) = 4q_p соответственно. «Маскилон» сбывает товар на удаленных рынках и вынужден осуществлять доставку товара. Кроме «Маскилона», доставлять его товар никто не умеет. Издержки на доставку пренебрежимо малы по сравнению с издержками на производство, но общие транспортные мощности ограничены 10 единицами. Один космический корабль требует 0,5 единицы транспортных мощностей, а одна ракета-носитель — 1 единицу. Монопольные рынки космических кораблей и ракет-носителей независимы друг от друга, а функции спроса на них описываются функциями Q_k(p_k) = 100 - p_k и Q_p(p_p) = 40 - p_p соответственно.
Какое количество каждого товара следует произвести «Маскилону», чтобы получить максимальную прибыль?
Сначала решим задачу монополиста на каждом из двух рынков без учета транспортных ограничений. На рынке космических кораблей "Маскилон" максимизирует функцию прибыли
\pi_k = (100 - q_k)q_k - q_k^2 - 2q_k = -2q_k^2 + 98q_k
Максимальное значение квадратичной функции с отрицательным старшим коэффициентом достигается в точке q_k^*=24,5.
На рынке ракет-носителей "Маскилон" максимизирует функцию прибыли
\pi_p = (40 - q_p)q_p - 4q_p = -q_p^2 + 36q_p
Максимальное значение этой квадратичной функции с отрицательным старшим коэффициентом достигается в точке q_p^*=18.
С учетом ограничения транспортных мощностей "Маскилону" нет смысла производить более 20 космических кораблей или более 10 ракет-носителей. Значит, оптимальный с учетом транспортных ограничений уровень выпуска на каждом из двух рынков будет лежать на участке возрастания прибыли на соответствующем рынке. Отсюда следует, что в оптимуме "Маскилон" полностью задействует свои транспортные мощности.
Пусть "Маскилон" производит n ракет-носителей. Тогда, так как задействуются все транспортные мощности, он произведет 2(10-n) космических кораблей.
При таком уровне выпуска товаров общая прибыль фирмы будет равна
\pi = -n^2 + 36n - 2(2(10 - n))^2 + 98 \cdot 2(10 - n) = -9n^2 + 1160
При неотрицательных nn функция прибыли убывает по nn. Значит, "Маскилон" произведет 0 ракет-носителей и 20 космических кораблей.