Авиарейсы из города N-ска в Москву осуществляет единственная авиакомпания «N-авиа». Спрос на ее услуги предъявляют две группы пассажиров — пенсионеры и непенсионеры. Месячный спрос пенсионеров на авиабилеты описывается уравнением Q = 44 - P, а месячный спрос непенсионеров уравнением Q = 80 - P. Месячная функция издержек авиакомпании имеет вид TC = 20Q + 500.

Продавать билеты пенсионерам и непенсионерам по разным ценам законом не запрещено, но изначально авиакомпания этого не делает, потому что билеты продаются только через интернет и не имеет технической возможности проверять наличие пенсионного удостоверения.

a) (10 баллов) Найдите единую цену на билет, которую установит компания в изначальной ситуации.

б) (6 баллов) Авиакомпания может арендовать офис продаж в одном из городских торговых центров. При этом наличие офиса позволяет проверять наличие пенсионных удостоверений и, соответственно, назначать для пенсионеров и непенсионеров разные цены. Определите максимальное значение месячной арендной платы R_{max}, которую компания будет готова платить за аренду офиса.

в) (4 балла) Допустим, наличие офиса не только позволяет назначать для пенсионеров и непенсионеров разные цены, но и увеличивает в целом узнаваемость авиакомпании — в случае открытия офиса спрос непенсионеров вырастает до Q = 90 - P. Найдите значение R_{max} в этих условиях.

Решение

а) Найдем функцию рыночного спроса. Поскольку при ценах P \in (44; 80] покупают билеты только непенсионеры, спрос имеет вид:

Q(P) = \begin{cases} 80 - P + 44 - P = 124 - 2P, & P \leq 44; \\ 80 - P, & P \in (44; 80]. \end{cases}

Дальше можно решать двумя способами — максимизация прибыли по цене или по количеству.

Способ 1 (максимизация по цене). Составим функцию прибыли фирмы \pi(P) :

\pi(P) = (P \cdot Q(P)) - TC(Q(P)) = Q(P)P - 20Q(P) - 500.

Подставим Q(P) в уравнение:

\pi(P) = (80 - P)P - 20(80 - P) - 500 = 80P - P^2 - 1600 + 20P - 500 = -P^2 + 100P - 2100, \quad P \in (44; 80].

Для участка P \leq 44 :

\pi(P) = (124 - 2P)P - 20(124 - 2P) - 500 = 124P - 2P^2 - 2480 + 40P - 500 = -2P^2 + 164P - 2980, \quad P \leq 44.

Найдем цену P^*, при которой прибыль максимальна.

Функции прибыли на каждом из участков являются квадратичными, ветви парабол направлены вниз. Поэтому максимумы на каждом из участков достигаются в вершинах парабол. Найдем их для каждого участка и проверим принадлежность этой точки участку.

- На участке P \leq 44, P = \frac{-164}{(-2 \cdot 2)} = 41, что принадлежит этому участку.

- На участке P \in (44; 80], P = \frac{-100}{(-2)} = 50, что принадлежит этому участку.

Значит, обе цены 41 и 50 являются точками локального максимума прибыли. Глобально оптимальной будет та из этих двух цен, при которой прибыль больше. Рассчитаем эту прибыль.

\pi(41) = (124 - 2 \cdot 41) \cdot 41 - 20 \cdot (124 - 2 \cdot 41) - 500 = 382

\pi(50) = (80 - 50) \cdot 50 - 20 \cdot (80 - 50) - 500 = 400

Поскольку 400 > 382, оптимальной является цена P^* = 50. Авиакомпания назначит цену, при которой пенсионеры не будут пользоваться её услугами.

Способ 2 (максимизация по количеству). Найдем обратную функцию рыночного спроса P(Q) из уравнения Q(P).

P(Q) = \begin{cases} 80 - Q, & Q \leq 36; \\ 62 - Q / 2, & Q \in (36; 124]. \end{cases}

Точку излома Q = 36 получаем, подставив цену излома P = 44 в Q(P).

Составим функцию прибыли \pi(Q) :

\pi(Q) = P(Q) \cdot Q - TC(Q) = \begin{cases} (80 - Q) \cdot Q - 20Q - 500, & Q \leq 36; \\ (62 - Q / 2) \cdot Q - 20Q - 500, & Q \in (36; 124]. \end{cases}

На каждом из двух участков функция является квадратичной, ветви парабол направлены вниз. При Q \leq 36 вершиной параболы является Q_B = (60 / (-2)) = 30, при Q > 36 вершина находится в точке Q_B = (42 / (-1/2)) = 42. Обе вершины принадлежат соответствующим участкам, значит, на каждом из участков максимум достигается именно в соответствующей вершине.

Также точки локального максимума Q = 30 и Q = 42 можно найти из приравнивания MR и MC. Функция MR(Q) на каждом из участков вдвое более крута, чем функция P(Q) :

MR(Q) = \begin{cases} 80 - 2Q, & Q \leq 36; \\ 62 - Q, & Q \in (36; 124]. \end{cases}

Решая уравнение MR(Q) = 20, находим его два корня Q = 30 и Q = 42. Эти точки локального максимума прибыли, потому что MR убывает в окрестности этих точек, а MC постоянны.

Чтобы найти глобальный максимум прибыли, сравним прибыль при Q = 30 и Q = 42.

\pi(30) = 60 \cdot 30 - 30^2 - 20 \cdot 30 - 500 = 400,

\pi(42) = 42 \cdot 42 / 2 - 42^2 / 2 - 20 \cdot 42 - 500 = 382.

Значит, прибыль максимальна при Q^* = 30, что соответствует цене P^*=80-30=50.

Ответ: P^*=50

b) Фирма будет готова платить за аренду офиса сумму не большую, чем прирост ее прибыли от того, что она сможет назначать две разные цены, а не одну единую. Найдем максимальную прибыль фирмы, если она может назначать две разные цены.

Способ 1 (максимизация по ценам). Пусть P_1 — цена для пенсионеров, а P_2 — для всех остальных. Тогда прибыль фирмы как функция этих двух цен примет вид:

\pi (P_1,P_2) = (44 - P_1)P_1 + (80 - P_2)P_2 - 20(44 - P_1 + 80 - P_2) - 500 = (44 - P_1)P_1 + (80 - P_2)P_2 - 500.

Как видим, функция прибыли разбивается на сумму двух слагаемых, каждое из которых является функцией только от своей цены. Прибыль будет максимальна, когда каждое из слагаемых будет максимальным. Поскольку каждое из слагаемых является квадратичной функцией и ветви парабол направлены вниз, максимум каждого из слагаемых достигается в вершине соответствующей параболы. Отсюда P_1^* = 32, P_2^* = 50 (эти же значения мы нашли в пункте а).

Максимальная прибыль (без учета расходов на аренду) равна:

\pi(32,50) = (44 - 32)(32) + (80 - 50)(50) - 20(50 - 20) - 500 = 544.

Значит, фирма будет готова платить за аренду офиса не больше, чем:

R_{max} = 544 - 400 = 144.

Эту сумму можно было найти чуть проще, заметив, что поскольку фирма назначает для не пенсионеров ту же цену, что и в пункте а), (переменная) прибыль от не пенсионеров не равна той же, а значит, R_{max} просто равно вновь полученной прибыли от пенсионеров, то есть:

(44 - 32)(32) = 144.

Способ 2 (максимизация по количествам). Пусть Q_1 — объем покупок пенсионеров, Q_2 — не пенсионеров. Тогда прибыль фирмы как функция от Q_1 и Q_2 есть:

\pi(Q_1,Q_2) = (44 - Q_1)Q_1 + (80 - Q_2)Q_2 - 20(Q_1 + Q_2) - 500 = (24Q_1 - Q_1^2) + (60Q_2 - Q_2^2/2) - 500.

Как видим, функция прибыли разбивается на сумму двух слагаемых, каждое из которых является функцией только от своего количества. Прибыль будет максимальна, когда каждое из слагаемых будет максимальным. Поскольку каждое из слагаемых является квадратичной функцией и ветви парабол направлены вниз, максимум каждого из слагаемых достигается в вершине соответствующей параболы. Отсюда Q_1^* = 12, Q_2^* = 30 (вторую вершину мы уже нашли в предыдущем пункте).

Также можно было бы найти из приравнивания предельного дохода для каждой группы с предельными издержками: MR(Q_1) = 44 - 2Q_1 = MC = 20, MR(Q_2) = 62 - Q_2 = 20. При таком решении Q_1, проверкой доказать, что условие максимума является указанием на то, что функции MR убывают, а MC постоянны.

Максимальная прибыль (без учета расходов на аренду) равна:

\pi(12,30) = 544.

Значит, фирма будет готова платить за аренду офиса не больше, чем:

R_{max} = 544 - 400 = 144.

Ответ: \( R_{max} = 144 \).

в) Пересчитаем максимальную прибыль в случае открытия офиса. Она находится так же, как и в пункте б), но с новым спросом не пенсионеров. Поскольку спрос пенсионеров тот же, что и в б), мы уже знаем оптимальную цену для них — P_1^* = 32 (оптимальный объем Q_1^* = 12 ).

Найдем новый оптимум при обслуживании только не пенсионеров.

Способ 1 (максимизация по цене). Новую оптимальную цену для не пенсионеров находим из максимизации функции (90 - P)(P - 20) . Эта функция квадратичная, ветви параболы направлены вниз, значит, максимум достигается в вершине, которая равна P_2^* = 55 .

Способ 2 (максимизация по количеству). Новый оптимальный объем для не пенсионеров находим из максимизации функции (90 - Q)(Q - 20). Эта функция квадратичная, ветви параболы направлены вниз, значит, максимум достигается в вершине, откуда Q_2^* = 35. Также этот объем можно найти из приравнивания MR = MC = 20, то есть MR = 90 - 2Q_2 = 20.

Значит, в случае открытия офиса прибыль будет равна:

\pi = 144 + (90 - 55)(55 - 20) - 500 = 869.

Отсюда R_{max} = 869 - 400 = 469.

Ответ: R_{max} = 469.

Примечание: задача основана на реальных событиях. Авиакомпания «Ижавиа» (г. Ижевск) предлагает билеты по тарифу «Социальный» для пенсионеров и других льготных категорий пассажиров с оформлением только в офисе. Оформление на сайте невозможно.