Полдники

a) ( баллов) Обозначим за  и  объемы производства пирожков и морса в Кабаджленде. Из условия следует, что , , . Подставляя эти соотношения в уравнение КПВ, получаем, что   (Это не что иное, как уравнение КПВ Кабаджленда относительно товаров.) Второе уравнение на   и  получаем из условия о том, что полдник должен состоять из одного пирожка и одного стакана морса: . Решая получившуюся систему, получаем, что .

Аналогично,  и   — объемы производства пирожков и морса в Бэриленде. Снова имеем соотношения , , , откуда получаем, что . Вновь учитывая, что , получаем, что .

Таким образом, максимальный мировой объем потребления полдников равен  полдника.

Примечание. Участник может не выводить КПВ относительно товаров, а сразу перейти к уравнениям, учитывающим пропорции необходимых ресурсов: например,  и . При корректном обосновании этого способа действия баллы не должны снижаться.

Кривые производственных возможностей относительно товаров:

б) ( баллов) В пункте а) мы вывели, что уравнения КПВ стран в координатах <<пирожки-морс>> имеют вид   и . Сложим эти КПВ стандартным образом:

Уравнение этой КПВ имеет вид:

где   и  — мировые объемы производства пирожков и морса соответственно.

Теперь нам нужно пересечь график мировой КПВ с лучом 

Заметим, что точка излома КПВ имеет координаты , то есть в ней . Следовательно, пересечение в КПВ произойдет на втором участке, то есть тогда, когда . Получаем уравнение , откуда .

Таким образом, максимальный мировой объем потребления полдников теперь равен .

Примечание. Задача может быть решена и без получения уравнения суммарной КПВ. Воспользовавшись идеей о сравнительных преимуществах (альтернативная стоимость пирожка в Кабаджленде меньше, чем в Бэриленде), заметим, что первый пирожок должен быть произведен в Кабаджленде. Однако даже если мы произведем там все возможные пирожки ( штук), морса в Бэриленде можно будет произвести большее количество ( стаканов), значит, там тоже частично нужно производить пирожки. Производя  дополнительных пирожков, мы отказываемся в Бэриленде от   стаканов морса. Чтобы в сумме не было лишних пирожков или морса, должно быть выполнено , то есть   и всего можно произвести полдников.

в) ( баллов) Докажем, что максимальный мировой объем потребления полдников равен . Для этого: ) докажем, что искомый объем потребления не больше (оценка); ) приведем пример обмена между странами, при котором искомый объем равен (пример).

) (Оценка) Выпишем снова уравнения КПВ стран относительно ресурсов:

Сложим эти уравнения (просто как уравнения, а не в смысле сложения КПВ). Получаем

Обозначим количество полдников за . Заметим, что, в силу пропорций производства и потребления верны следующие равенства:  Подставляя эти равенства в уравнения выше, получаем, что

Таким образом, , откуда , что мы и хотели доказать.

) (Пример.) полдников страны могут получить следующим образом:

Кабаджлэнд производит единиц муки и единиц капусты;

Берилэнд производит единиц муки и единиц смородины;

Кабаджлэнд отправляет единиц капусты в Бэриленд, где из муки и этой капусты делают пирожков;

Из оставшейся капусты и муки в Кабаджлэнде делают пирожков.

Из смородины в Бэрилэнде делают единиц морса;

Бэрилэнд отправляет в Кабаджлэнд единиц морса, в результате чего в каждой стране оказывается по полдников.

Примечание . Этот пример не единственен. Легко проверить, что подойдет любой пример, в котором Кабаджлэнд производит единиц капусты и отправляет в Бэрилэнд не меньше из них (и при этом производство муки в двух странах определяется из количеств капусты, которые окажутся в двух странах в результате этого, а производство смородины определяется по остаточному принципу)

Примечание . Построение примера является неотъемлемой частью решения. Из того, что выполнено неравенство  еще не следует, что оно может быть выполнено как равенство. Действительно, наше доказательство неравенства  никак не учитывало возможности торговли, а потому это неравенство могло быть абсолютно так же доказано и в пунктах а) и б). Тем не менее, как мы видим, в этих пунктах верхняя граница  не достигается.