Полдники
Любимыми лакомствами жителей стран Кабаджленд и Бэриленд являются пирожки с капустой (P) и смородиновый морс (M). Эти блага потребляются в неизменной пропорции 1 пирожок на 1 стакан морса. Комплект, состоящий из одного пирожка и одного стакана морса, назовем полдником.
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Страна} & \text{Уравнение КПВ} \\ \hline \text{Кабаджленд} & x_k + y_k + z_k = 120 \\ \text{Бэриленд} & x_b + 2y_b + z_b = 120 \\ \hline \end{array}
В любой стране для приготовления 1 пирожка необходимы 2 единицы муки (x) и 1 единица капусты (y), для приготовления стакана морса нужна только 1 единица смородины (z). Уравнения, описывающие кривые производственных возможностей относительно ресурсов, представлены в таблице. Найдите максимальное общее количество полдников, которое можно приготовить в двух странах, если:
а) ( 7 баллов) обмен между странами невозможен;
б) ( 8 баллов) страны могут обмениваться пирожками и морсом;
в) ( 15 баллов) страны могут обмениваться пирожками, морсом и капустой.
a) ( 7 баллов) Обозначим за P_k и M_k объемы производства пирожков и морса в Кабаджленде. Из условия следует, что x_k=2P_k, y_k=P_k, z_k=M_k. Подставляя эти соотношения в уравнение КПВ, получаем, что 3P_k+M_k=120 (Это не что иное, как уравнение КПВ Кабаджленда относительно товаров.) Второе уравнение на P_k и M_k получаем из условия о том, что полдник должен состоять из одного пирожка и одного стакана морса: P_k=M_k. Решая получившуюся систему, получаем, что P_k=M_k=30.
Аналогично, P_b и M_b — объемы производства пирожков и морса в Бэриленде. Снова имеем соотношения x_b=2P_b, y_b=P_b, z_b=M_b, откуда получаем, что 4P_b+M_b=120. Вновь учитывая, что P_b=M_b, получаем, что P_b=M_b=24.
Таким образом, максимальный мировой объем потребления полдников равен 30+24=54 полдника.
Примечание. Участник может не выводить КПВ относительно товаров, а сразу перейти к уравнениям, учитывающим пропорции необходимых ресурсов: например, 2z_k+z_k+z_k=120 и 2z_b+2z_b+z_b=120. При корректном обосновании этого способа действия баллы не должны снижаться.
Кривые производственных возможностей относительно товаров:
б) ( 8 баллов) В пункте а) мы вывели, что уравнения КПВ стран в координатах <<пирожки-морс>> имеют вид 3P_k+M_k=120 и 4P_b+M_b=120. Сложим эти КПВ стандартным образом:
Уравнение этой КПВ имеет вид:
M = \begin{cases} 240 - 3P, & \text{если } P < 40; \\ 280 - 4P, & \text{если } 40 \leq P \leq 70. \end{cases}
где P и M — мировые объемы производства пирожков и морса соответственно.
Теперь нам нужно пересечь график мировой КПВ с лучом P=M
Заметим, что точка излома КПВ имеет координаты (40;120), то есть в ней M>P. Следовательно, пересечение в КПВ произойдет на втором участке, то есть тогда, когда M=280-4P. Получаем уравнение M=280-4M, откуда M=P=56.
Таким образом, максимальный мировой объем потребления полдников теперь равен 56.
Примечание. Задача может быть решена и без получения уравнения суммарной КПВ. Воспользовавшись идеей о сравнительных преимуществах (альтернативная стоимость пирожка в Кабаджленде меньше, чем в Бэриленде), заметим, что первый пирожок должен быть произведен в Кабаджленде. Однако даже если мы произведем там все возможные пирожки (40 штук), морса в Бэриленде можно будет произвести большее количество (120 стаканов), значит, там тоже частично нужно производить пирожки. Производя x дополнительных пирожков, мы отказываемся в Бэриленде от 4x стаканов морса. Чтобы в сумме не было лишних пирожков или морса, должно быть выполнено 40+x=120-4x, то есть x=16 и всего можно произвести 56 полдников.
в) ( 15 баллов) Докажем, что максимальный мировой объем потребления полдников равен 60. Для этого: 1 ) докажем, что искомый объем потребления не больше 60 (оценка); 2 ) приведем пример обмена между странами, при котором искомый объем равен 60 (пример).
1) (Оценка) Выпишем снова уравнения КПВ стран относительно ресурсов:
\begin{cases} x_{k} + y_{k} + z_{k} = 120, \\ x_{b} + 2y_{b} + z_{b} = 120. \end{cases}
Сложим эти уравнения (просто как уравнения, а не в смысле сложения КПВ). Получаем
(x_{k} + x_{b}) + (y_{k} + y_{b}) + (z_{k} + z_{b}) = 240 - y_{b}
Обозначим количество полдников за Q. Заметим, что, в силу пропорций производства и потребления верны следующие равенства: 2Q = x_k + x_b, \quad Q = y_k + y_b, \quad Q = z_k + z_b. Подставляя эти равенства в уравнения выше, получаем, что
2Q + Q + Q = 240 - y_6 \leq 240
Таким образом, 4Q\leq 240, откуда Q\leq 60, что мы и хотели доказать.
2 ) (Пример.) 60 полдников страны могут получить следующим образом:
Кабаджлэнд производит 60 единиц муки и 60 единиц капусты;
Берилэнд производит 60 единиц муки и 60 единиц смородины;
Кабаджлэнд отправляет 30 единиц капусты в Бэриленд, где из муки и этой капусты делают 30 пирожков;
Из оставшейся капусты и муки в Кабаджлэнде делают 30 пирожков.
Из смородины в Бэрилэнде делают 60 единиц морса;
Бэрилэнд отправляет в Кабаджлэнд 30 единиц морса, в результате чего в каждой стране оказывается по 30 полдников.
Примечание 1. Этот пример не единственен. Легко проверить, что подойдет любой пример, в котором Кабаджлэнд производит 60 единиц капусты и отправляет в Бэрилэнд не меньше 30 из них (и при этом производство муки в двух странах определяется из количеств капусты, которые окажутся в двух странах в результате этого, а производство смородины определяется по остаточному принципу)
Примечание 2. Построение примера является неотъемлемой частью решения. Из того, что выполнено неравенство Q\leq 60 еще не следует, что оно может быть выполнено как равенство. Действительно, наше доказательство неравенства Q\leq 60 никак не учитывало возможности торговли, а потому это неравенство могло быть абсолютно так же доказано и в пунктах а) и б). Тем не менее, как мы видим, в этих пунктах верхняя граница Q=60 не достигается.