Джини и Робин Гуд - 2
Как вы знаете, помимо индекса Джини (G) существует ещё один показатель неравенства доходов — индекс Робин Гуда (H). Он показывает, какая минимальная доля суммарного дохода должна быть перераспределена от более богатых к бедным, чтобы в обществе наступило полное равенство.
Учитывая, что индекс Робин Гуда можно вычислить как максимальное вертикальное расстояние между кривой Лоренца и линией абсолютного равенства, докажите, что для любых распределений дохода выполняются неравенства:
H\leq G\leq 2H.
1) Общение сведения:
Индекс Джини G определяется как
G=S/0.5=2S
где S - площадь области между диагональю и кривой Лоренца.
Индекс Робин Гуда H можно вычислить как максимальное вертикальное расстояние между кривой Лоренца и линией абсолютного равенства:
H = \max_{0 \leq x \leq 1} (d(x)) = \max_{0 \leq x \leq 1} (x - y(x)),
где y(x) - уравнение кривой Лоренца, d - вертикальное расстояние между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца.
2) Верхняя оценка: G\leq 2H.
Из метода расчёта индекса Робин Гуда имеем неравенство:
d(x) \leq H \quad для всех x\in[0, \ 1].
Это означает, что график функции d(x) целиком лежит под горизонтальной прямой y=H. Следовательно, площадь под графиком d(x) на отрезке [0, \ 1] не превосходит площади прямоугольника ширины 1 и высоты H, откуда следует что
S\leq H.
или G=2S\leq 2H.
3) Нижняя оценка: H\leq G.
Кривая Лоренца по определению выпукла вверх: её график лежит не выше любой своей хорды.
Понимая, что d(x)=x-x(y) и кривая Лоренца по определению выпукла вверх, d(x) - вогнутая функция (разность линейной функции и выпуклой функции).
Обозначим точку, в которой d(x) достигает максимума, через x_0, т.е. d(x_0)=H.
Рассмотрим три точки на графике d(x) :
A = (0, 0), \quad B = (x_0, H), \quad C = (1, 0).
Из вогнутости d(x) следует:
1. на отрезке [0, \ x_0] график d(x) лежит не ниже хорды AB ;
2. на отрезке [x_0, \ 1] график d(x) лежит не ниже хорды BC.
Значит, площадь под графиком d(x) на [0, \ 1] не меньше площади под ломаной, проходящей через точки A, \ B, \ C, а последняя равна площади треугольника ABC.
У треугольника ABC основание по оси x равно 1 (от 0 до 1 ), а высота по оси y равна H. Поэтому его площадь равна
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot H = \frac{H}{2}.
Так как график d(x) не ниже ломаной, площадь под графиком d(x) не меньше S_{ABC} = \frac{H}{2}. Откуда
G = 2S \geq 2 \cdot \frac{H}{2} = H.
4) Вывод: для любых допустимых кривых Лоренца всегда выполнится неравенство H\leq G\leq2H.