1. Найдем, при каких a общественное благосостояние при монополии больше, чем при конкуренции.

1) Определим, какое количество грузовых перевозок производится при совершенной конкуренции. Пересекая спрос и предложение, получаем, что Q^c = 25 - P = 25 - 5 = 20.

2) Определим величину общественного благосостояния при конкуренции. Излишек потребителей равен CS = 20^2/2 = 200 (его можно посчитать и непосредственно через площадь треугольника, образованного графиками спроса и предложения):

CS^c = (25 - 5) \cdot 20/2 = 200 \, \text{(см. выше)}.

Абсолютно эластичное предложение означает постоянные предельные издержки производства, которые равны 5: MC = 5. Поскольку FC = 0, то AC = 5, а значит, P = AC, то есть (экономическая) прибыль фирм равна нулю.

Наконец, ущерб для экологии равен a(Q^c)^2 = 400a.

Таким образом, общественное благосостояние при совершенной конкуренции равно:

SW^c = CS^c + 0 - 400a = 200 - 400a.

3) Теперь найдем оптимум монополиста. Как мы выяснили, MC = 5, FC = 0, поэтому общие издержки монополиста равны TC(Q) = 5Q. Монополист решает задачу максимизации прибыли:

\pi(Q) = (25 - Q)Q - 5Q = (20 - Q)Q \to \max_Q.

Графиком функции прибыли является парабола с ветвями вниз, вершина которой определяется объемом перевозок Q^m = 10 .

Оптимум монополиста также можно было найти через равенство предельного дохода и предельных издержек:

MR(Q) = 25 - 2Q = 5.

Мы получим максимум, потому что это стандартная модель с линейным спросом, MR убывает, и MC постоянны. Так же можно максимизировать прибыль как функцию от цены:

\pi(P) = (P - 5)(25 - P) \to \max,

это парабола с ветвями вниз, вершина находится посередине между корнями,

P^* = \frac{(25 + 5)}{2} = 15,

тогда Q = 25 - P^* = 10 .

4) Определим величину общественного благосостояния при монополии. Величина излишка потребителей CS^m равна (Q^m)^2/2 = 50. (Ее можно найти и непосредственно как площадь треугольника, образованного графиком спроса и ценой P^m = 15 :

CS^m = \frac{(25 - 15) \cdot 10}{2} = 50.

При этом монополист получит прибыль \pi^m = (25 - Q^m)Q^m - 5Q^m = 100 и принесет ущерб экологии a(Q^m)^2 = 100a.

Значит, величина общественного благосостояния при монополии равна:

SW^m = 50 + 100 - 100a = 150 - 100a.

5) Монополизация рынка приведет к увеличению благосостояния, так что:

SW^c < SW^m

200 - 400a < 150 - 100a

50 < 300a.

\frac{1}{6} < a

Ответ: a > \frac{1}{6}.

6) Определим, при каком объеме перевозок достигается максимальный уровень благосостояния. В общем виде излишек потребителя равен CS(Q) = \frac{Q^2}{2}, а прибыль \pi(Q) = (20 - Q)Q. Таким образом, функция общественного благосостояния имеет вид:

SW(Q) = \frac{Q^2}{2} + (20 - Q)Q - aQ^2 = 20Q - \left( \frac{1}{2} + a \right) Q^2.

Графиком функции общественного благосостояния является парабола с ветвями вниз, вершина которой определяется объемом перевозок Q^* = \frac{20}{1 + 2a}. Аналогичный ответ также можно было получить, приравняв производную SW(Q) к нулю и проверив критическую точку на максимум.

Итак, общественное благосостояние достигает своего максимального уровня при:

Q^* = \frac{20}{1 + 2a}.

2) Теперь определим, при каком a максимум общественного благосостояния достигается при монополии.

Способ 1 (более быстрый). Поскольку для достижения максимума общественного благосостояния необходимо, чтобы объем равнялся Q^* = \frac{20}{1 + 2a}, этот максимум достигается при монополии, если и только если монопольный выпуск равен как раз Q^* :

Q^m = Q^*,

10 = \frac{20}{1 + 2a},

откуда a = \frac{1}{2} .

Ответ: a = \frac{1}{2}.

Способ 2 (более длинный). Непосредственно приравняем максимальное общественное благосостояние к благосостоянию при монополии (которое мы уже нашли в пункте а)).

Максимально возможное благосостояние равно:

SW(Q^*) = \frac{20}{1 + 2a} \cdot 20 - \left( \frac{1 + 2a}{1 + 2a} \right) \cdot \frac{200}{1 + 2a} = \frac{200}{1 + 2a}.

Приравняем его к монопольному:

\frac{200}{1 + 2a} = SW^m = 150 - 100a.

Деля обе части на 100 и преобразовывая, получаем квадратное уравнение:

4a^2 - 4a + 1 = 0

(2a - 1)^2 = 0

откуда a = \frac{1}{2}.

Примечания:

- В отсутствие внешних эффектов общественное благосостояние при монополии, конечно, не максимально, ведь монополия выбирает неэффективно низкий выпуск. Но при наличии отрицательного внешнего эффекта, такого как вред для окружающей среды, сокращение выпуска — это как раз то, что нужно обществу! Поэтому, как это ни парадоксально, монополизация рынка может в этом случае быть благом. Если внешний эффект мал (в данном случае при a < \frac{1}{6} ), мы находимся близко к стандартной ситуации, и монополизация все же уменьшает благосостояние (выгода от снижения выбросов меньше, чем ущерб от снижения потребительского излишка). Но если внешний эффект значителен (a > \frac{1}{6} ), монополизация приводит к росту благосостояния. И при определенных условиях (при a = \frac{1}{2} ) монополия даже может обеспечить максимальный уровень благосостояния из всех возможных.

- Если мы определим общественное благосостояние не через прибыль, а через излишек производителя, что, возможно, звучит привычнее, ничего бы не изменилось, потому что прибыль равна излишку производителя минус FC, а FC равны нулю. Но даже если бы FC не были нулю, все объемы и ответы на вопросы задачи все равно бы не изменились, потому что FC это константа, которая не влияет на максимизацию общественного благосостояния.