Монополия — лекарство от внешнего эффекта
В некой стране рынок грузовых автомобильных перевозок является рынком совершенной конкуренции. Спрос описывается уравнением Q = 25 - P, предложение имеет вид P = 5. Перевозки сопровождаются вредными выбросами в атмосферу. Объем перевозок Q влечет ущерб для экологии в денежном эквиваленте aQ^2, где a > 0 — параметр.
Государство задумалось о вмешательстве на данном рынке с целью увеличения общественного благосостояния. Министерство экономики подготовило список возможных мер, и среди них оказалась довольно неожиданная. Согласно расчетам министерства, общественное благосостояние увеличится, если принудительно объединить все фирмы, создав на этом рынке монополиста.
а) (17 баллов) Определите, какие значения может принимать параметр a в свете сказанного в предыдущем предложении.
б) (13 баллов) Определите значение параметра a, если объединение фирм приведет к росту общественного благосостояния до максимального возможного уровня.
Для справки. Величина общественного благосостояния при объеме Q равна сумме излишка потребителей (равного CS = 0.5Q^2 ) и прибыли фирм за вычетом ущерба для экологии. Считайте, что постоянные издержки отсутствуют.
1. Найдем, при каких a общественное благосостояние при монополии больше, чем при конкуренции.
1) Определим, какое количество грузовых перевозок производится при совершенной конкуренции. Пересекая спрос и предложение, получаем, что Q^c = 25 - P = 25 - 5 = 20.
2) Определим величину общественного благосостояния при конкуренции. Излишек потребителей равен CS = 20^2/2 = 200 (его можно посчитать и непосредственно через площадь треугольника, образованного графиками спроса и предложения):
CS^c = (25 - 5) \cdot 20/2 = 200 \, \text{(см. выше)}.
Абсолютно эластичное предложение означает постоянные предельные издержки производства, которые равны 5: MC = 5. Поскольку FC = 0, то AC = 5, а значит, P = AC, то есть (экономическая) прибыль фирм равна нулю.
Наконец, ущерб для экологии равен a(Q^c)^2 = 400a.
Таким образом, общественное благосостояние при совершенной конкуренции равно:
SW^c = CS^c + 0 - 400a = 200 - 400a.
3) Теперь найдем оптимум монополиста. Как мы выяснили, MC = 5, FC = 0, поэтому общие издержки монополиста равны TC(Q) = 5Q. Монополист решает задачу максимизации прибыли:
\pi(Q) = (25 - Q)Q - 5Q = (20 - Q)Q \to \max_Q.
Графиком функции прибыли является парабола с ветвями вниз, вершина которой определяется объемом перевозок Q^m = 10 .
Оптимум монополиста также можно было найти через равенство предельного дохода и предельных издержек:
MR(Q) = 25 - 2Q = 5.
Мы получим максимум, потому что это стандартная модель с линейным спросом, MR убывает, и MC постоянны. Так же можно максимизировать прибыль как функцию от цены:
\pi(P) = (P - 5)(25 - P) \to \max,
это парабола с ветвями вниз, вершина находится посередине между корнями,
P^* = \frac{(25 + 5)}{2} = 15,
тогда Q = 25 - P^* = 10 .
4) Определим величину общественного благосостояния при монополии. Величина излишка потребителей CS^m равна (Q^m)^2/2 = 50. (Ее можно найти и непосредственно как площадь треугольника, образованного графиком спроса и ценой P^m = 15 :
CS^m = \frac{(25 - 15) \cdot 10}{2} = 50.
При этом монополист получит прибыль \pi^m = (25 - Q^m)Q^m - 5Q^m = 100 и принесет ущерб экологии a(Q^m)^2 = 100a.
Значит, величина общественного благосостояния при монополии равна:
SW^m = 50 + 100 - 100a = 150 - 100a.
5) Монополизация рынка приведет к увеличению благосостояния, так что:
SW^c < SW^m
200 - 400a < 150 - 100a
50 < 300a.
\frac{1}{6} < a
Ответ: a > \frac{1}{6}.
6) Определим, при каком объеме перевозок достигается максимальный уровень благосостояния. В общем виде излишек потребителя равен CS(Q) = \frac{Q^2}{2}, а прибыль \pi(Q) = (20 - Q)Q. Таким образом, функция общественного благосостояния имеет вид:
SW(Q) = \frac{Q^2}{2} + (20 - Q)Q - aQ^2 = 20Q - \left( \frac{1}{2} + a \right) Q^2.
Графиком функции общественного благосостояния является парабола с ветвями вниз, вершина которой определяется объемом перевозок Q^* = \frac{20}{1 + 2a}. Аналогичный ответ также можно было получить, приравняв производную SW(Q) к нулю и проверив критическую точку на максимум.
Итак, общественное благосостояние достигает своего максимального уровня при:
Q^* = \frac{20}{1 + 2a}.
2) Теперь определим, при каком a максимум общественного благосостояния достигается при монополии.
Способ 1 (более быстрый). Поскольку для достижения максимума общественного благосостояния необходимо, чтобы объем равнялся Q^* = \frac{20}{1 + 2a}, этот максимум достигается при монополии, если и только если монопольный выпуск равен как раз Q^* :
Q^m = Q^*,
10 = \frac{20}{1 + 2a},
откуда a = \frac{1}{2} .
Ответ: a = \frac{1}{2}.
Способ 2 (более длинный). Непосредственно приравняем максимальное общественное благосостояние к благосостоянию при монополии (которое мы уже нашли в пункте а)).
Максимально возможное благосостояние равно:
SW(Q^*) = \frac{20}{1 + 2a} \cdot 20 - \left( \frac{1 + 2a}{1 + 2a} \right) \cdot \frac{200}{1 + 2a} = \frac{200}{1 + 2a}.
Приравняем его к монопольному:
\frac{200}{1 + 2a} = SW^m = 150 - 100a.
Деля обе части на 100 и преобразовывая, получаем квадратное уравнение:
4a^2 - 4a + 1 = 0
(2a - 1)^2 = 0
откуда a = \frac{1}{2}.
Примечания:
- В отсутствие внешних эффектов общественное благосостояние при монополии, конечно, не максимально, ведь монополия выбирает неэффективно низкий выпуск. Но при наличии отрицательного внешнего эффекта, такого как вред для окружающей среды, сокращение выпуска — это как раз то, что нужно обществу! Поэтому, как это ни парадоксально, монополизация рынка может в этом случае быть благом. Если внешний эффект мал (в данном случае при a < \frac{1}{6} ), мы находимся близко к стандартной ситуации, и монополизация все же уменьшает благосостояние (выгода от снижения выбросов меньше, чем ущерб от снижения потребительского излишка). Но если внешний эффект значителен (a > \frac{1}{6} ), монополизация приводит к росту благосостояния. И при определенных условиях (при a = \frac{1}{2} ) монополия даже может обеспечить максимальный уровень благосостояния из всех возможных.
- Если мы определим общественное благосостояние не через прибыль, а через излишек производителя, что, возможно, звучит привычнее, ничего бы не изменилось, потому что прибыль равна излишку производителя минус FC, а FC равны нулю. Но даже если бы FC не были нулю, все объемы и ответы на вопросы задачи все равно бы не изменились, потому что FC это константа, которая не влияет на максимизацию общественного благосостояния.