Прогресс и прокрастинация.
Один ленивый монополист знает, что в его рыночном сегменте имеется 49 групп потребителей, проживающих в разных городах. Спрос i группы задан уравнением P_i=500-10i-2q, где i является натуральным числом от 1 до 49. Монополист находится в столице, и добраться до любого города путем телепортации ему обойдется в 10000 (за каждый город), которые он выплатит неленивым учёным. Инновации зашли настолько далеко, что он не несет издержек.
А) Найдите, в скольких городах будет работать монополист, если он максимизирует прибыль и не имеет возможности проводить дискриминацию.
Б) Теперь ученые предлагают монополисту вывести из строя национальную сеть сообщения, чтобы изолировать города, ведь тогда все группы можно будет дискриминировать. Плата за это составит 8800, но транспортные издержки остаются. Предыдущая альтернатива также доступна монополисту. Сколько городов он будет обслуживать теперь, если максимизирует прибыль?
А) Запишем спрос i первых городов, так как их готовность платить при каждом кол-ве ближе.
Q = \left(245 - 0.5p + 240 - 0.5p + \cdots + 250 - 5i - 0.5p\right) = \frac{\left(245 - 0.5p + 250 - 5i - 0.5p\right)i}{2} = \frac{\left(495 - 5i - p\right)i}{2}.
Выразим цену: P=(495-5i)-2Q/i при условии, что цена не больше, чем 500-10i.
Запишем прибыль: Pr = PQ - 10000i = (495 - 5i)Q - \frac{2Q^2}{i} - 10000i.
Промаксимизируем её по Q и получим, что Q^* = \frac{(495 - 5i)i}{4}. Тут стоит возразить, что оптимальная цена при определённом i может стать больше, чем готовность последнего города платить. Тогда в формуле выручка от этого будет отрицательной, значит эта прибыль не максимальна, так как при меньшем i мы можем получать ту же выручку с остальных городов, а так как последнему городу ничего не будет продано, выручка от него будет нулевой, а не отрицательной, как могло получиться, значит при максимизации такой случай отпадает и мы можем спокойно подставить это и промаксимизировать дальше по i\in Z. При подстановке получаем, что Pr=0,125i(495-5i)^2-10000i.
P.S. В случаях целочисленной оптимизации удобно пользоваться дискретной производной. Это значит, что F(x+1)-F(x)=0. Это сразу покажет нам, два оптимальных значения, если x и x+1 целые, или одно между ними, если не целые.
Pr(i + 1) - Pr(i) = \frac{(490 - 5i)^2(i + 1)}{8} - \frac{(495 - 5i)^2 i}{8} - 10000 = 0
После некоторых преобразований решаем квадратное уравнение:
3i^2-393i+6404=0
Первый корень равен примерно 101, что нам не подходит, а второй 19,07, значит оптимум лежит между 19,07 и 20,07, т.е. это 20. Прибыль равна 190062,5.
Б) Промаксимизируем прибыль каждого отдельного города:
Pr_i = (500 - 10i)Q - 2Q^2 - 10000, \\ Q^* = \frac{500 - 10i}{4}
Pr_i^* = \frac{(500 - 10i)^2}{8} - 10000 \geq 0, чтобы города себя окупали. Получаем, что прибыль от 21 города будет равна 0, тогда всего будет 21 город.
Найдем суммарную прибыль:
\sum_{i=1}^{21} Pr_i = 0.125 \left( (500 - 10)^2 + (500 - 20)^2 + \ldots + (500 - 10i)^2 \right) - 10000i = \\ 0.125 \left( (500 - 10)^2 + (500 - 20)^2 + \ldots + 250000 - 10000i + 100i^2 \right) - 10000i = \\ 0.125 \left( 250000i - 10000(1 + 2 + 3 + \ldots + 21) + 100(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 21^2) \right) = \\ 0.125 \left( 250000i - \frac{10000(1+21) \cdot 21}{2} + 100 \cdot 21 \cdot 22 \cdot \frac{43}{6} \right) = 198887.5
Разница в прибылях равна 8825, значит при выплате дополнительных 8800 мы заработаем 25, согласившись на эту сделку.
Ответ:
А) 20
Б) 21