А) Запишем спрос i первых городов, так как их готовность платить при каждом кол-ве ближе.

Q = \left(245 - 0.5p + 240 - 0.5p + \cdots + 250 - 5i - 0.5p\right) = \frac{\left(245 - 0.5p + 250 - 5i - 0.5p\right)i}{2} = \frac{\left(495 - 5i - p\right)i}{2}.

Выразим цену: P=(495-5i)-2Q/i при условии, что цена не больше, чем 500-10i.

Запишем прибыль: Pr = PQ - 10000i = (495 - 5i)Q - \frac{2Q^2}{i} - 10000i.

Промаксимизируем её по Q и получим, что Q^* = \frac{(495 - 5i)i}{4}. Тут стоит возразить, что оптимальная цена при определённом i может стать больше, чем готовность последнего города платить. Тогда в формуле выручка от этого будет отрицательной, значит эта прибыль не максимальна, так как при меньшем i мы можем получать ту же выручку с остальных городов, а так как последнему городу ничего не будет продано, выручка от него будет нулевой, а не отрицательной, как могло получиться, значит при максимизации такой случай отпадает и мы можем спокойно подставить это и промаксимизировать дальше по i\in Z. При подстановке получаем, что Pr=0,125i(495-5i)^2-10000i.

P.S. В случаях целочисленной оптимизации удобно пользоваться дискретной производной. Это значит, что F(x+1)-F(x)=0. Это сразу покажет нам, два оптимальных значения, если x и x+1 целые, или одно между ними, если не целые.

Pr(i + 1) - Pr(i) = \frac{(490 - 5i)^2(i + 1)}{8} - \frac{(495 - 5i)^2 i}{8} - 10000 = 0

После некоторых преобразований решаем квадратное уравнение:

3i^2-393i+6404=0

Первый корень равен примерно 101, что нам не подходит, а второй 19,07, значит оптимум лежит между 19,07 и 20,07, т.е. это 20. Прибыль равна 190062,5.

Б) Промаксимизируем прибыль каждого отдельного города:

Pr_i = (500 - 10i)Q - 2Q^2 - 10000, \\ Q^* = \frac{500 - 10i}{4}

Pr_i^* = \frac{(500 - 10i)^2}{8} - 10000 \geq 0, чтобы города себя окупали. Получаем, что прибыль от 21 города будет равна 0, тогда всего будет 21 город.

Найдем суммарную прибыль:

\sum_{i=1}^{21} Pr_i = 0.125 \left( (500 - 10)^2 + (500 - 20)^2 + \ldots + (500 - 10i)^2 \right) - 10000i = \\ 0.125 \left( (500 - 10)^2 + (500 - 20)^2 + \ldots + 250000 - 10000i + 100i^2 \right) - 10000i = \\ 0.125 \left( 250000i - 10000(1 + 2 + 3 + \ldots + 21) + 100(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 21^2) \right) = \\ 0.125 \left( 250000i - \frac{10000(1+21) \cdot 21}{2} + 100 \cdot 21 \cdot 22 \cdot \frac{43}{6} \right) = 198887.5

Разница в прибылях равна 8825, значит при выплате дополнительных 8800 мы заработаем 25, согласившись на эту сделку.

Ответ:

А) 20

Б) 21