Санкции и стимулирование экономики
В стране Шароварии импорт автомобилей зарубежных марок резко сократился из-за санкций против этой страны, что привело к значительному росту цен на доступные модели. Правительство этой страны, традиционно закупавшее служебные автомобили для госучреждений у иностранных производителей, столкнулось с резким увеличением издержек. В ответ власти начали рассматривать альтернативные меры снижения цен на закупку автомобилей: увеличение закупок отечественных автомобилей, поддержку параллельного импорта или субсидирование производства.
Предположим, что до введения санкций спрос на отечественные автомобили описывался следующим уравнением:
Q=\begin{cases} 21-P, & 21 \ge P \ge 0,\\[4pt] 0, & P \ge 21. \end{cases},
где P – цена автомобиля (в сотнях тысяч рублей), а Q – количество проданных автомобилей (в тысячах штук).
На рынке отечественных автомобилей действовала одна фирма, воспринимающая рыночную цену как заданную (ценополучатель), и формировавшая предложение, исходя из своих издержек. Функция издержек фирмы до ограничения импорта имела вид: TC=Q^2/2, где Q – количество произведённых автомобилей (в тысячах штук). После ограничения импорта иностранных комплектующих издержки отечественных производителей удвоились, а правительство приняло решение закупить 15 тысяч автомобилей.
a) ( 8 баллов) Определите, насколько цена отечественных автомобилей после введения санкций (назовём её P_x ) окажется выше, чем цена, которая бы сложилась без санкций, но при условии, что правительство все равно закупило бы 15 тысяч автомобилей (назовём её P_y ).
Функция спроса с учётом закупок государства:
Q= \begin{cases} 21-P+15, & 21 \ge P \ge 0,\\[4pt] 0+15, & P \ge 21, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 36-P, & 21 \ge P \ge 0,\\[4pt] 15, & P \ge 21. \end{cases}
До санкций фирма максимизирует прибыль:
\Pi = P Q - \frac{Q^{2}}{2}\ \to\ \max \quad\Longrightarrow\quad Q^{\ast}=P.
Подставляем в функцию спроса:
P=36-P=>P=18<21, подходит под ограничения =>P=18
После санкций функция издержек изменяется, и новая прибыль:
\Pi=PQ-Q^2=>max=>Q^*=p/2
Подставляем в спрос:
P/2=36-P=>P=24>21, не подходит под ограничения => пересечение на другом участке.
P/2=15=>P=30>21, подходит под ограничения =P_x=30.
Разница цен:
P_x-P_y=30-18=12.
Ответ: 12
b) ( 8 баллов) Обеспокоенное ростом цен, правительство решило инвестировать сумму S в разработку новых технологий, чтобы сократить издержки производителей в два раза и вернуть их к первоначальному уровню TC=Q^2/2. Найдите максимальное значение этой суммы (S_{max}), если правительство готово инвестировать не более той суммы, которую удалось бы сэкономить на закупке автомобилей в результате снижения цен.
Экономия от снижения цены:
S_{max}=Q*(P_x-P_y)=15*12=180
Ответ: S_{max}=180
c) ( 8 баллов) Допустим, что суммы S_{max} оказалось недостаточно, и инвестиции не были реализованы. В таком случае правительство решило ввести потоварную субсидию для производителей в размере s=P_x-P_y. Определите новую цену автомобиля для потребителей после введения субсидии, а также расходы государства на её предоставление.
Размер субсидии:
s=P_x-P_y=12.
Пусть P_d – цена, уплачиваем потребителем, тогда цена получаемая производителем P_d+s=P_d+12, тогда предложение производителя: Q=\frac{P_d+12}{2} (из предыдущих пунктов).
Подставляем в функцию спроса: (P_d+12)/2=36-P_d=>P_d=20<21, подходит под ограничения.
Расходы государства:
R=s*Q=12*(36-20)=192.
Ответ: R_d=20, \ R=192
d) ( 10 баллов) После анализа ситуации правительство заметило, что его расходы на субсидию в пункте c) не эквивалентны экономии на сокращении цены. Найдите максимальный размер потоварной субсидии, при котором государственные расходы на неё в точности равны экономии, полученной за счёт снижения цены.
Пусть P_d – цена, уплачиваем потребителем, тогда цена получаемая производителем P_d+s, тогда предложение производителя: Q=(P_d+s)/2 (из предыдущих пунктов).
Подставляем в функцию спроса: \frac{P_d + s}{2} = 36 - P_d \quad\Longrightarrow\quad P_d = \frac{72 - s}{3} < 21, подходит под ограничения при s>9.
Тогда при s>9 экономия государства составляет:
(P_x - P_d)\cdot Q_g = \Big(30 - \frac{72 - s}{3}\Big)\cdot 15 = \Big(\frac{s}{3}+6\Big)\cdot 15.
При этом расходы государства составляют:
s\cdot\Big(36 - \frac{72 - s}{3}\Big) = s\cdot\Big(\frac{s}{3}+12\Big).
Заметим, что при s>9: \ s>s/3+6 и (s/3+12)>15. Это можно заметить из того, что при s>9 покупают и обычные потребители, а значит количество выше количества государства, а цена снизиться меньше чем на s по тем же причинам. То есть оба множителя больше, а значит и выше расходы государства, а значит равновесие не достигается.
Или же можно решить квадратное уравнение:
s\cdot\Big(\frac{s}{3}+12\Big)=\Big(\frac{s}{3}+6\Big)\cdot 15 \quad\Longrightarrow\quad s=9 не подходит под ограничения
Имеем, что s\leq 9. Заметим, что при s=9 предложение будет иметь вид (P_d+9)/2, приравняв к спросу получим:
\frac{P_d+9}{2}=15 \quad\Longrightarrow\quad P_d=21 подходит под ограничения
При этом экономия государства составляет: (30-21)*15=135, а расходы 9*15=135.
Ответ: s_{max}=9
e) ( 6 баллов) Назовём найденный предыдущем пункте размер субсидии s_{max}. Используя модель задачи, объясните, почему при введении потоварной субсидии s>s_{max} расходы на субсидию в пункте не эквивалентны экономии на сокращении цены.
Если s>s_{max}, субсидия становится слишком высокой, и цена снижается ниже максимальной цены, которую обычные потребители готовы заплатить. В результате не только государство, но и частные потребители начинают покупать автомобили, что увеличивает равновесное количество по сравнению с количеством, закупаемым государством. При этом и цена снижается на величину меньшей выплачиваемой субсидии за счёт увеличения спроса со стороны обычных потребителей. В итоге и равновесное количество выше количества закупаемого государством, и снижение цены ниже величины субсидии, а значит расходы государства однозначно выше.
Примечание: Объяснив идею пункта e), можно быстрее решить пункт d), если заметить, что тогда s_{max} соответствует значению при котором цена не опустится ниже 21, а так как спрос государства q=15, то s_{max}=P_x-21=9.