Найдём равновесие в первом периоде. MC=100q_i, q_i=P/100, Q_s=P. Спрос Q_d=100-P. P^*=50, Q^*=50, q_i^*=0,5, \pi^*=25-50*0,5=12,5>0. Значит никто из них не ушёл с рынка.

Во 2 периоде Q_d=100-2P, найдём предложение у 80 фирм в зависимости от цены и налога, у которых жёстко ограничен объём производства.

\pi = 0,5P(1 - t) - 12,5 \quad \rightarrow \quad Q_s = \begin{cases} 0, & \text{при } P < \frac{25}{1 - t} \\ \frac{n}{2}, & \text{при } P = \frac{25}{1 - t}, n \in Z, n \in [0; 80] \\ 40, & \text{при } P > \frac{25}{1 - t} \end{cases}

Остальные 20 фирм могут менять объём, а значит q_i = \frac{P(1 - t)}{100}, Q_s = \frac{P(1 - t)}{5}. Итоговое предложение:

Q_s = \begin{cases} \frac{P(1 - t)}{5}, & P < \frac{25}{1 - t}, \\ 5 + \frac{n}{2}, & P = \frac{25}{1 - t},\ n \in \mathbb{Z},\ n \in [0; 80], \\ 40 + \frac{P(1 - t)}{5}, & P > \frac{25}{1 - t}. \end{cases}

Так выглядит график предложения.

Разумеется, он будет менять наклон в зависимости от ставки налога. Спрос может пересекать этот график в трёх частях, на левой или правой ветке, и в разрыве.

Найдём границы ставки налога. При P=\frac{25}{1-t}, значение красного участка – 5, зеленого –45. Цена спроса при данных количествах 47,5 и 27,5 соответственно. Приравняв к этим числам \frac{25}{1-t}, получим t=1/11;9/19. 0<t\leq 1/11 пересекается с зелёным участком, 1/11<t\leq 9/19 проходит через разрыв, 9/19<t<1 пересекается с красным участком. Остаётся промаксимизировать налоговые сборы на трёх участках. Для красного и зелёного всё довольно просто.

При пересечении с красным P^* = \frac{500}{11 - t}, \ Q^* = 100 \cdot \frac{1 - t}{11 - t} \ \rightarrow \ T = 50000 \cdot \frac{t(1 - t)}{(11 - t)^2}, взяв производную видим, что максимум лежит правее ограничения, а значит максимально возможные налоги на этом участке при 9/19. Аналогично с зелёным участком P^* = \frac{300}{11-t}, \; Q^* = \frac{60(1-t)}{11-t} + 40 \; \to \; T = 30000 * \frac{t(5-t)}{(11-t)^2} также взяв производную видим, что максимум лежит не на ограничении, а значит максимум налогов приt=1/11. Интереснее с разрывом. Однако по условию у нас обязательно должно быть достигнуто равновесие. Равновесие точно лежит на кривой спроса, иначе бы у нас было подвешенное состояние. При этом мы знаем цену на разрыве.

P = \frac{25}{1-t}, \; Q = 100 - \frac{50}{1-t}, \; T = \frac{25t(50-100t)}{(1-t)^2} ; T' = \frac{1-4t+3t^2}{(1-t)^4}. Приравняв к нулю получим, что нужное нам t=1/3, Q=25. Таким образом достигнуто равновесие, всего фирм на рынке 60. 20 фирм производит по 1/4 и 40 по 1/2.T=312,5. При t=1/11 и при t=9/19 налоговые сборы будут T=112,5.

Ответ:

t=1/3, T=312,5.