Государство – сила, правитель -?
Вернёмся в королевство Афбука. Теперь там существуют фирм по производству еды с издержками и одно сильное государство. Спрос на еду , где –номер периода. Глава сильного государства облагает фирмы налогом (в – он смотрит на рынок и собирает информацию, во – только в процентах от цены потребителя) и стремится максимизировать налоговые поступления за период. Во период лишь фирм, определяемые случайным образом, могут поменять кол-во производимой продукции. Остальные либо производят столько же, сколько и в предыдущем периоде, либо уходят с рынка насовсем. Ставка налога на период публично обозначается в его начале. Помогите главе государства и найдите оптимальную ставку налога, если фирмы близоруки (то есть планируют только на один, текущий, период и не уходят с рынка, если у них нулевая прибыль) и при этом каждый раз обязательно должно установиться равновесие.
Найдём равновесие в первом периоде. , , . Спрос . , , , . Значит никто из них не ушёл с рынка.
Во периоде , найдём предложение у фирм в зависимости от цены и налога, у которых жёстко ограничен объём производства.
Остальные фирм могут менять объём, а значит . Итоговое предложение:
Так выглядит график предложения.
Разумеется, он будет менять наклон в зависимости от ставки налога. Спрос может пересекать этот график в трёх частях, на левой или правой ветке, и в разрыве.
Найдём границы ставки налога. При , значение красного участка – , зеленого –. Цена спроса при данных количествах и соответственно. Приравняв к этим числам , получим . пересекается с зелёным участком, проходит через разрыв, пересекается с красным участком. Остаётся промаксимизировать налоговые сборы на трёх участках. Для красного и зелёного всё довольно просто.
При пересечении с красным , взяв производную видим, что максимум лежит правее ограничения, а значит максимально возможные налоги на этом участке при . Аналогично с зелёным участком также взяв производную видим, что максимум лежит не на ограничении, а значит максимум налогов при. Интереснее с разрывом. Однако по условию у нас обязательно должно быть достигнуто равновесие. Равновесие точно лежит на кривой спроса, иначе бы у нас было подвешенное состояние. При этом мы знаем цену на разрыве.
; . Приравняв к нулю получим, что нужное нам , . Таким образом достигнуто равновесие, всего фирм на рынке . фирм производит по и по .. При и при налоговые сборы будут .
Ответ:
, .