а) Обозначим количества произведенных товаров за X и Y. Тогда в силу ограничения на рабочую силу имеет место неравенство X+2Y \leq 240. В силу ограничения на количество капитала имеет место неравенство X2/120+Y\leq120. Множество доступных для производства наборов (X,Y) является пересечением множеств, заданных этими неравенствами и первой координатной четверти. «Верхняя» граница этого множества и даст искомую КПВ. Ее ключевые точки: (0, 120), (60, 90), (120, 0). КПВ изображена на рисунке:

Кривая производственных возможностей страны и объем потребления в условиях закрытой экономики.

Для решения дальнейших пунктов нам пригодится аналитическая запись КПВ:

Y = \begin{cases} 120 - X/2, & X < 60; \\ 120 - X^2/120, & 60 \leq X \leq 120. \end{cases}

Количество потребленных комплектов будет определяться пересечением КПВ и луча Y=2X. Легко определить, что пересечение будет происходить в точке (48, 96), то есть потребляться будут 48 комплектов. В этой точке ограничение по труду выполнено как равенство. Иными словами, все единицы труда задействованы в производстве и уровень безработицы равен нулю.

б) Решение 1. Альтернативные издержки при производстве X единиц равны 1/2 единиц Игрека при X<60 и (120-X^2/120)'=X/50 единиц Игрека при X>60. Заметим, что если страна находится в точке равновесия пункта а), мы можем увеличить производство Икса на небольшое \Delta, отказавшись от \Delta /2 единиц Игрека. Произведенный Икс можно обменять на мировом рынке на 2\Delta единиц Игрека, и итоге у страны будет больше Игрека, чем изначально, при таком же количестве Икса. Значит, страна сможет получить и больше комплектов, чем изначально (так как Y дополнительных единиц Игрека легко превратить в Y/4 комплектов).

(Уменьшать же производство Икса по сравнению с пунктом а) невыгодно, так как «меняя» Икс на Игрек внутри страны, двигаясь по КПВ влево, мы получим только 1/2 Игрека за каждую единицу Икса, а на мировом рынке получим две единицы.)

Рассуждая таким образом, что стране выгодно наращивать производство Икса, пока альтернативные издержки этого (в терминах Игрека) меньше, чем количество дополнительных единиц

Игрека, которое можно получить от обмена. Иными словами, стране нужно выбрать максимальный объем производства Икса, удовлетворяющий условию X/60 \leq 2. Получаем, что оптимальный объем производства Икса равен 120, и, соответственно, объем производства Игрека равен 0.

2 единицы Икса на мировом рынке можно превратить в комплект из единицы Икса и двух единиц Игрека, и значит 120 единиц можно превратить в 60 комплектов. На производстве Икса будет задействовано 120 из 240 единиц труда. Таким образом, уровень безработицы составит 50 %.

Решение 2 является графическим аналогом Решения 1. Допустим, страна выбрала некую точку A на КПВ. Обмен товарами на международном рынке соответствует движению вдоль прямой,проходящей через A и имеющую наклон (−2). При этом обмен будет происходить до пересечения этой прямой с прямой Y=2X. Например, если страна выберет точку (0; 120), обмен будет соответствовать движению вдоль прямой l_1 на рис. ниже. Видим, что ее пересечение c Y=2X лежит ниже КПВ, так что обмен не выгоден. Напротив, если страна будет производить комбинацию (60; 90), можно обмениваться вдоль прямой l_2. Ее пересечение с Y=2X лежит выше КПВ, так что такой обмен увеличивает количество комплектов по сравнению с закрытой экономикой.

Проводя прямые с наклоном (−2) через точки с X \leq 60, видим, что итоговое потребление ком- плектов будет расти до тех пор, пока линия обмена не будет касаться КПВ, либо X не достигнет своего максимального значения, 120. В данном случае наклон КПВ в точке равен −X/60, и поэтому КПВ касается линии обмена, когда −X/60=−2, то есть X=120. Таким образом, потребление комплектов максимально, если страна будет производить только Икс, в объеме 120 единиц.

При этом обмен будет происходить вдоль прямой l_3, имеющей уравнение Y=240−2X. Пересекая ее с прямой Y=2X, получаем, что количество потребляемых комплектов равно 60.

При этом в производстве задействованы только 120 единиц труда из 240, так что уровень безработицы равен 50 %.

Установление равновесия при свободной торговле:

Решение 3. Допустим, страна решила произвести X единиц Икса и Y(X) единиц Игрека, где Y(X) — уравнение КПВ. Тогда, чтобы достичь пропорции потребления 2:1 ей нужно будет обменять на мировом рынке \Delta единиц Икса на 2 \Delta единиц Игрека, где \Delta удовлетворяет уравнению \frac{Y(X) + 2\Delta}{X - \Delta} = 2, откуда \Delta = \frac{2X - Y(X)}{4}. При этом итоговое потребление комплектов будет равно

X - \Delta = X/2 + Y(X)/4 = \begin{cases} 30 + 3X/8, & X < 60; \\ 30 + X/2 - X^2/480, & 60 \leq X \leq 120. \end{cases}

Нам нужно максимизировать эту функцию по X. Заметим, что она возрастает при X<60, поэтому оптимум достигается при X \geq 60. При X \geq 60 графиком этой функции является парабола с ветвями вниз, и ее максимум достигается при X=120. Отсюда получаем все остальные ответы.

На содержательном уровне в экономике произошло следующее. Дешевый, относительно альтернативных издержек производства, импортный Игрек вытеснил отечественный, что привело к закрытию заводов по производству Игрека и перетоку рабочей силы из производства Игрека в производство Икса на экспорт. Однако, поскольку производство Икса менее трудоемко, чем производство Игрека, далеко не все смогли найти новую работу в секторе производства Икса. В итоге возникла безработица, несмотря на то, что суммарное потребление комплектов возросло.

в) Независимо от величины, страна будет производить только 120 единиц Икса, потреблять 60 комплектов и иметь 120 безработных единиц труда. Потери от безработицы (в комплектах) перевесят рост потребления при 120 \geq 60−48, то есть C \geq 1/10. Таким образом, c_{min}=1/10.

г) Решение 1. Заметим, что, независимо от величины тарифа, фактическая пропорция обмена для страны в целом (с учетом внешнеторговых операций государства) будет, как и раньше, 2:1. Поэтому объем производства Икса однозначно определяет количество потребленных в итоге комплектов, а значит, и уровень благосостояния. Значит, можно оптимизировать благосостояние непосредственно по объему производства Икса, найти этот оптимальный объем, а затем найти величину тарифа, при которой в равновесии ровно этот объем и будет произведен.

При X<60 в стране не будет безработицы и поэтому увеличение производства Икса (движение в сторону решения, максимизирующего число комплектов) будет увеличивать благосостояние. Поэтому оптимальное значение X не меньше 60.

Из решения пункта б) мы знаем, что количество потребленных комплектов при производстве X>60 единиц Икса равно 30+X/2−X^2/480. При этом количество безработных единиц труда составит 240−X−2 \cdot (120−X^2/120)=X^2/60−X. Таким образом, общественное благосостояние с учетом потерь от безработицы составит

W(X) = 30 + X/2 - X^2/420 - \frac{1}{10}(X^2/60 - X) = 30 + 0.6X - \left( \frac{1}{480} + \frac{1}{600} \right)X^2

Графиком функции W(X) является парабола с ветвями вниз, и ее максимум достигается в вершине

X^* = \frac{0.3}{\frac{1}{480} + \frac{1}{600}} = \frac{120 \cdot 0.3}{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}} = \frac{36}{\frac{9}{20}} = 80 \geq 60

Таким образом, оптимальный тариф должен быть таким, чтобы производители произвели 80 единиц Икса. Величину этого тарифа можно найти двумя способами.

Способ 1. Альтернативные издержки при X=80 равны X/60=80/60=4/3. Равновесие же устанавливается таким образом, чтобы альтернативные издержки равнялись пропорции обмена, которую «чувствуют» экономические агенты (с учетом тарифа). Значит, должно быть выполнено 2(1−t)=4/3, откуда t=1/3

Способ 2. Найдем, сколько единиц будет производиться в стране при пропорции обмена 1:(2(1−t)), решив задачу, аналогичную пункту б). Страна будет экспортировать \Delta единиц Икса, где \Delta удовлетворяет уравнению \frac{Y(X) + 2(1 - t)\Delta}{X - \Delta} = 2, откуда \Delta = \frac{2X - Y(X)}{2 + 2(1 - t)}. Итоговое потребление комплектов равно

X - \Delta = \begin{cases} \frac{120}{2 + 2(1 - t)} + \frac{2(1 - t) - 1/2}{2 + 2(1 - t)}X, & X < 60; \\ \frac{120 - X^2/120}{2 + 2(1 - t)} + \frac{2(1 - t)}{2 + 2(1 - t)}, & 60 \leq X \leq 120. \end{cases}

Необходимо установить значение t такое, что эта функция максимальна при X=80.

Значит, X=80 должно находиться в вершине параболы, соответствующей случаю X \geq 60. Абсцисса этой вершины равна 120(1−t), и значит, 120(1−t)=80, откуда t=1/3. При этом можно проверить, что при t=1/3 количество комплектов возрастает по X при X<60, так что X=80 действительно является максимумом с учетом обоих участков.

Решение 2. Как уже было отмечено ранее, независимо от величины тарифа, фактическая пропорция обмена для страны в целом (с учетом внешнеторговых операций государства) будет, каки раньше, 2:1. Заметим, что на мировом рынке Икс стоит 2p ден. ед., а Игрек — p ден. ед. (что как раз соответствует пропорции обмена 1 : 2). Таким образом, если страна произведет x^* единиц товара Икс и y^* единиц товара Игрек, то вне зависимости от ставки налога суммарное число потребленных комплектов составит K=(2x^*+y^*)/4. Государство и население преследуют одни интересы: максимизация числа потребляемых комплектов! Поскольку весь собранный налог на импорт возвращается потребителям, то фактически все средства, которые можно было бы выручить на мировом рынке при производстве x^* единиц товара Икс и y^* единиц товара Игрек, в совокупности будут потрачены на приобретение максимально возможного числа комплектов.

При X<60 в стране не будет безработицы и поэтому увеличение производства Икса (движение в сторону решения, максимизирующего число комплектов) будет увеличивать благосостояние. Следовательно, оптимальное значение X не меньше 60. В таком случае количество безработных будет равно 240−x^*−2y^*, а общественное благосостояние

W(X) = K - 0.1U = \frac{2x^* + y^*}{4} - 0.1(240 - x^* - 2y^*) = 0.6x^* - 0.45y^* - 24

Тогда, решая задачу аналогично пункту б), найдем, сколько единиц будет производиться в стране при пропорции обмена 1:(2(1−t)):

x^*=120(1−t) единиц товара Икс и y^*=240t−120t^2 единиц товара Игрек.

С учетом налога общественное благосостояние будет равно

W(X) = 0.6 \cdot 120(1 - t) + 0.45 \cdot (240t - 120t^2) - 24

и достигает максимального значения при t=1/3.

Содержательно введение тарифа скажется на экономике следующим образом. Поскольку импортный Игрек станет менее доступен, производство отечественного (трудоемкого) Игрека увеличится, в результате чего безработица сократится. При этом частично международная торговля сохранится, что позволит стране продолжать получать часть выгод от специализации.

Примечание:

Если бы изъятый Игрек уничтожался, введение тарифа все равно могло бы повысить общественное благосостояние. В качестве упражнения найдите величину тарифа, которая максимизирует благосостояние в этом случае. (Конечно, сама максимальная величина благосостояния должна получиться меньше, чем в пункте г).)
Предпосылка о том, что «экономика работает так, чтобы максимизировать количество комплектов» будет выполняться, например, при следующих условиях: (1) На мировом рынке Икс стоит 2p ден. ед., а Игрек — p ден. ед. (что как раз соответствует пропорции обмена 1 : 2); (2) Все рынки совершенно-конкурентные и нет транспортных расходов, так что цены внутри страны равны мировым ценам; (3) Объемы производства выбираются так, чтобы суммарная выручка производителей была максимальна при данных ценах; (4) Вся выручка производителей обращается в доходы потребителей; (5) Потребители полностью тратят доход на покупку комплектов. В этой интерпретации прямые l_1, l_2 и l_3, изображенные на рисунке, будут одновременно являться линиями одинаковой выручки и бюджетными ограничениями потребителя.
Для полноты картины можно рассчитать величину общественного благосостояния. При полном запрете торговли благосостояние равно 48. При полной либерализации торговли оно также равно 48 При введении оптимального тарифа оно составит W(80)=54.