1. Определение пороговых значений

Пусть выпускник с уровнем образования \theta выбирает между университетами, максимизируя полезность:

U_1=s_1*\theta-p_1, \quad U_2=s_2*\theta-p_2

Найдём абитуриента, которому безразлично какое образование получать (\hat{\theta}) :

s_1 \hat{\theta} - p_1 = s_2 \hat{\theta} - p_2

\hat{\theta} (s_1 - s_2) = p_1 - p_2

\hat{\theta} = \frac{p_1 - p_2}{s_1 - s_2}

s1 − s2

Минимальное значение \theta_{\min}, при котором выпускник решает учиться в менее престижном университете, находится из условия:

s_2 \theta_{\min} - p_2 = 0

\theta_{\min} = \frac{p_2}{s_2}

2. Определение спроса на университеты

Число студентов в каждом университете:

N_1 = 140 (1 - \hat{\theta}), \quad N_2 = 140 (\hat{\theta} - \theta_{\min})

3. Вывод функций реакции университетов

Прибыль университетов:

\Pi_1 = p_1 \cdot N_1 = p_1 \cdot 140(1-\theta), \qquad \Pi_2 = p_2 \cdot N_2 = p_2 \cdot 140(\theta-\theta_{\min})

Подставляем выражения для \theta и \theta_{\min} :

\Pi_1 = p_1 \cdot 140\!\left(1-\frac{p_1-p_2}{\,s_1-s_2\,}\right), \qquad \Pi_2 = p_2 \cdot 140\!\left(\frac{p_1-p_2}{\,s_1-s_2\,}-\frac{p_2}{s_2}\right)

Максимизируем по p_1 и p_2, получаем линии реакции:

\begin{cases} \displaystyle p_1=\dfrac{p_2+(s_1-s_2)}{2},\\[8pt] \displaystyle p_2=\dfrac{s_2}{2s_1}\,p_1 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \displaystyle p_1=\dfrac{p_2+1}{2},\\[8pt] \displaystyle p_2=\dfrac{p_1}{4} \end{cases}

Решая систему уравнений, получаем равновесные цены:

p_1^{*}=\frac{4}{7},\qquad p_2^{*}=\frac{1}{7}

Пороговые значения:

\theta_{\min}=\frac{1}{7},\qquad \theta=\frac{3}{7}

Примечание:

В решении выше не рассмотрены «крайние случаи», когда при выбранных на линии реакции p_1 и p_2 значение каких-то из \theta не попадает в область определения. Заметим, что во всех таких случаях не достигается равновесие.

1. Допустим, \hat{\theta}=\frac{p_{1}-p_{2}}{\,s_{1}-s_{2}\,}>1, тогда прибыль первого университета равна нулю и если прибыль второго больше нуля, то первый хочет отклониться и понизить цену, иначе – отклониться желает второй.

2. Допустим, что \theta_{\min}>\hat{\theta}\quad \text{или}\quad \theta_{\min}>\frac{p_{1}}{s_{1}}, то есть минимального значения при котором абитуриенту безразлично поступать ли во второй университет. В этом случае прибыль второго университета равна нулю и он хочет отклониться, понизив цену. Понизить цену он может, так как s-2/p_2>0.

3. \theta_{\min} не может быть меньше нуля. Тогда мы имеем, что: 0 < \theta_{\min} < \hat{\theta} < 1 в равновесии.

Иллюстрация:

Ответ: p_1^*=4/7 \quad p_2^*=1/7