Ценообразование в стране чудес
Парк развлечений «Страна чудес» предлагает посетителям поездки на различных аттракционах. Парк является монополистом, поэтому имеет возможность выбирать любую ценовую политику по своему усмотрению. Маркетинговые исследования показали, что все посетители могут быть поделены на две равные группы (для удобства можно предположить, что количество потребителей в каждой группе равно единице). Типичный представитель первой группы имеет функцию спроса q1 = 100 − 10p, а типичный представитель второй группы q2 = 80 − 10p, где q – это количество поездок на аттракционах в год, а p – стоимость одной поездки в драхмах. Предельные издержки одной поездки на аттракционе постоянны и равны 4 драхмам, постоянные издержки отсутствуют. Руководство парка рассматривает различные варианты ценообразования и желает получить максимальную прибыль. Руководство парка может без труда различать посетителей из разных групп.
1) Допустим, парк решил поштучно продавать каждую поездку на аттракционе. Какие цены p1 и p2 назначит парк для разных типов посетителей? Какую прибыль получит парк?
2) Парк решил, что потребители теперь должны платить не только за каждую поездку на аттракционе, но еще и купить входной билет. Этот входной билет покупается раз в год и дает возможность целый год посещать парк. Допустим, парк решает продавать все поездки на аттракционах по себестоимости (то есть по 4 драхмы). Какую плату T за входной билет должен назначить парк, чтобы получить максимальную прибыль? Какую прибыль получит парк в этом случае? [Подсказка: за входной билет потребитель готов заплатить сумму, не превышающую размер его потребительского излишка.] 3
3) Руководство парка считает, что стоит продавать поездки на аттракционах по цене, превышающей себестоимость. Вам необходимо определить такую единую для обеих групп покупателей цену p и такую стоимость входного билета T, при которой прибыль парка будет максимальной, и найти размер этой прибыли.
4) Жадный директор парка решил, что может для каждой группы покупателей не только назначить различную цену за поездку на аттракционе, но и установить для них разную цену за входной билет в парк. Какие цены p_1 и p_2 нужно назначить за поездку и сколько должны стоить входные билеты T_1 и T_2 при такой ценовой политике? Найдите соответствующую прибыль.
5) Вы выяснили, что размер прибыли в каждом случае будет различаться. Расставьте проекты от наименее к наиболее прибыльному. Используя экономическую интуицию, объясните, почему при ранжировании проектов по прибыльности они располагаются именно так.
q_1 = 100 - 10p
q_2 = 80 - 10p
MC = 4, FC = 0
1. (10 баллов за пункт 1)
Это случай раздельных продаж, или третий тип ценовой дискриминации.
Запишем прибыль как функцию от цены:
\Pi = (100 - 10p_1)(p_1 - 4) + (80 - 10p_2)(p_2 - 4) \rightarrow \max_{p_1,p_2}
\Pi = 140p_1 - 10p_1^2 - 400 + 120p_2 - 10p_2^2 - 320 \rightarrow \max (2 балла за целевые функции).
Эти две не связанные параболы с ветвями вниз, поэтому ищем максимум по каждой цене.
(2 балла за обоснование способа оптимизации и проверку условия второго порядка).
Найдём оптимальные цены p_1 = 7, p_2 = 6 (2 балла).
Оптимальные объёмы продаж равны q_1 = 30, q_2 = 20 (2 балла за нахождение оптимального выпуска).
\Pi^* = 7 \times 30 + 6 \times 20 - 4 \times (30 + 20) = 130 (2 балла за нахождение максимальной прибыли).
2. (10 баллов за пункт 2)
p = 4 \text{ и } T \leq CS
Максимальная цена, которую готов заплатить потребитель за входной билет, равна величине его потребительского излишка. Необходимо определить, величину какого потребительского излишка (CS1 или CS2) следует использовать для назначения цены билета (2 балла).
Если T = CS1, то покупает только первая группа посетителей, чья величина спроса при p = 4 равна q_1 = 60.
\Pi_1 = CS1 = \frac{(10 - 4) \times 60}{2} = 180 (3 балла).
Если T = CS2, то покупают обе группы посетителей, так как цена билета ниже.
При p = 4q_1 = 60, q_2 = 40
\Pi_2 = 2CS_2 = \frac{(8 - 4) \times 40}{2} = 160 (3 балла).
Цена билета является выгодной фирме. 180 > 160 , поэтому парк развлечений обслуживает только первую группу посетителей. \Pi^* = 180 (2 балла).
3. (10 баллов за пункт 3)
Здесь возможны два варианта: либо продавать билеты обеим группам населения, либо только первой.
Если обслуживать обе группы, то T = CS_2 :
\Pi = (p - 4)(180 - 20p) + 2CS_2 = (p - 4)(180 - 20p) + (8 - p)(80 - 10p) = -10p^2 + 100p - 80
Это парабола ветвями вниз с вершиной в p = 5
q_1 = 50
q_2 = 30
CS_2 = \frac{3 \times 30}{2} = 45 , то есть цена билета T = 45
\Pi^* = 80 + 45 + 2 = 170 \text{ (6 баллов)}
Если парк обслуживает только одну группу, то парку выгодно забрать весь потребительский излишек первой группы, а он максимален при p = 4.
Это можно доказать:
\Pi = (p - 4)(100 - 10p) + CS_1 = (p - 4)(100 - 10p) + \frac{1}{2}(10 - p)(100 - 10p) = 40p - 5p^2 + 100
Это парабола ветвями вниз с вершиной в p = 4
T^* = CS^1 = T^1 = 180 (4 балла).
4. (10 баллов за пункт 4)
Аналогично с предыдущим пунктом, прибыль будет максимальна, если парк соберёт в виде входного билета весь излишек каждой группы посетителей. Оба излишка максимальны при p = 4 :
\Pi^*_4 (p = 4) = CS_1(p = 4) + CS_2(p = 4) = 180 + 180 = 260
(10 баллов), этот пункт можно решить двумя способами: составив функцию прибыли и максимизировав её, или обосновав, что излишек будет максимален при цене 4 евро.
5. (5 баллов за пункт 5)
\Pi^*_1 < \Pi^*_2 < \Pi^*_3 < \Pi^*_4
Очевидно, что дополнительная плата в виде входного билета увеличивает прибыль. Возможность назначать разные цены за билеты, то есть забрать весь излишек у обеих групп, увеличивает прибыль ещё больше. Поэтому дискриминация на уровне платы за входной билет даёт наибольшую прибыль, а оба излишка максимальны, когда цена за поездку равна предельным издержкам. (5 баллов)