q_1 = 100 - 10p

q_2 = 80 - 10p

MC = 4, FC = 0

1. (10 баллов за пункт 1)

Это случай раздельных продаж, или третий тип ценовой дискриминации.

Запишем прибыль как функцию от цены:

\Pi = (100 - 10p_1)(p_1 - 4) + (80 - 10p_2)(p_2 - 4) \rightarrow \max_{p_1,p_2}

\Pi = 140p_1 - 10p_1^2 - 400 + 120p_2 - 10p_2^2 - 320 \rightarrow \max (2 балла за целевые функции).

Эти две не связанные параболы с ветвями вниз, поэтому ищем максимум по каждой цене.

(2 балла за обоснование способа оптимизации и проверку условия второго порядка).

Найдём оптимальные цены p_1 = 7, p_2 = 6 (2 балла).

Оптимальные объёмы продаж равны q_1 = 30, q_2 = 20 (2 балла за нахождение оптимального выпуска).

\Pi^* = 7 \times 30 + 6 \times 20 - 4 \times (30 + 20) = 130 (2 балла за нахождение максимальной прибыли).

2. (10 баллов за пункт 2)

p = 4 \text{ и } T \leq CS

Максимальная цена, которую готов заплатить потребитель за входной билет, равна величине его потребительского излишка. Необходимо определить, величину какого потребительского излишка (CS1 или CS2) следует использовать для назначения цены билета (2 балла).

Если T = CS1, то покупает только первая группа посетителей, чья величина спроса при p = 4 равна q_1 = 60.

\Pi_1 = CS1 = \frac{(10 - 4) \times 60}{2} = 180 (3 балла).

Если T = CS2, то покупают обе группы посетителей, так как цена билета ниже.

При p = 4q_1 = 60, q_2 = 40

\Pi_2 = 2CS_2 = \frac{(8 - 4) \times 40}{2} = 160 (3 балла).

Цена билета является выгодной фирме. 180 > 160 , поэтому парк развлечений обслуживает только первую группу посетителей. \Pi^* = 180 (2 балла).

3. (10 баллов за пункт 3)

Здесь возможны два варианта: либо продавать билеты обеим группам населения, либо только первой.

Если обслуживать обе группы, то T = CS_2 :

\Pi = (p - 4)(180 - 20p) + 2CS_2 = (p - 4)(180 - 20p) + (8 - p)(80 - 10p) = -10p^2 + 100p - 80

Это парабола ветвями вниз с вершиной в p = 5

q_1 = 50

q_2 = 30

CS_2 = \frac{3 \times 30}{2} = 45 , то есть цена билета T = 45

\Pi^* = 80 + 45 + 2 = 170 \text{ (6 баллов)}

Если парк обслуживает только одну группу, то парку выгодно забрать весь потребительский излишек первой группы, а он максимален при p = 4.

Это можно доказать:

\Pi = (p - 4)(100 - 10p) + CS_1 = (p - 4)(100 - 10p) + \frac{1}{2}(10 - p)(100 - 10p) = 40p - 5p^2 + 100

Это парабола ветвями вниз с вершиной в p = 4

T^* = CS^1 = T^1 = 180 (4 балла).

4. (10 баллов за пункт 4)

Аналогично с предыдущим пунктом, прибыль будет максимальна, если парк соберёт в виде входного билета весь излишек каждой группы посетителей. Оба излишка максимальны при p = 4 :

\Pi^*_4 (p = 4) = CS_1(p = 4) + CS_2(p = 4) = 180 + 180 = 260

(10 баллов), этот пункт можно решить двумя способами: составив функцию прибыли и максимизировав её, или обосновав, что излишек будет максимален при цене 4 евро.

5. (5 баллов за пункт 5)

\Pi^*_1 < \Pi^*_2 < \Pi^*_3 < \Pi^*_4

Очевидно, что дополнительная плата в виде входного билета увеличивает прибыль. Возможность назначать разные цены за билеты, то есть забрать весь излишек у обеих групп, увеличивает прибыль ещё больше. Поэтому дискриминация на уровне платы за входной билет даёт наибольшую прибыль, а оба излишка максимальны, когда цена за поездку равна предельным издержкам. (5 баллов)