Он улетел, но обещал вернуться
Карлсон, после того как улетел от маленького мальчика, решил заняться выращиванием фруктов, а именно яблок и груш. Так случилось, что в месте куда он улетел, с одной яблони за год можно было собрать лишь одно яблоко, а с дерева груши — только одну грушу. У Карлсона было 100 рублей, причем саженец дерева груши стоил 5 рублей, а саженец яблони — 20 рублей. При этом вся грядка Карлсона имела площадь 30 квадратных метров. Одно дерево груши занимало площадь 2 квадратных метра, а одна яблоня — 3 квадратных метра.
Карлсон больше всего на свете любит фрукты и хочет их съесть через год как можно больше. Какое максимальное количество фруктов съест Карлсон?
Примечание: предполагается, что количество деревьев (а, как следствие, и фруктов) может быть только целочисленным.
( 30 баллов)
Обозначим за x — количество яблок, а за y — количество груш. Заметим, что количество груш и яблок совпадает с количеством грушевых и яблочных деревьев.
Очевидно, что Карлсон не может потратить больше 100 рублей на саженцы. То есть всё, что он потратит на яблоки (20*x), вместе с тем, что он потратит на груши (5*y), не должно превышать 100. Таким образом, получаем неравенство 20x+5y\leq 100.
Также очевидно, что Карлсон не может использовать больше 30 квадратных метров площади грядки. То есть всё, что он потратит на яблоки (3*x), вместе с тем, что он потратит на груши (2*y), не должно превышать 30. Таким образом, получаем неравенство 3x+2y\leq 30.
Карлсон пытается увеличить количество фруктов, которые он съест, то есть максимизирует выражение x+y.
Таким образом получаем систему:
\begin{cases} 20x + 5y \leq 100, \\ 3x + 2y \leq 30, \\ x + y \to \max. \end{cases}
Решение этой системы x^*=0, y^*=15, x^*+y^*=15.
Ответ:
15