Давайте разберемся, что означает стратегия Хуана. В первую очередь, для каждого q он

определяет, на каком заводе производить дороже. Давайте ответим на этот вопрос:

\begin{array}{c} TC_1 \vee TC_2 \\ \frac{q^2}{2} \vee 5q + \frac{q^2}{4} \\ q(q - 20) \vee 0 \end{array}

А значит при q<20 Хуан будет называть Саше издержки второго завода, а при q>20 — издержки первого завода. Также стоит заметить, что при q=20 Хуану безразлично издержки какого завода назвать. Тогда для Саши издержки будут иметь следующий вид:

TC = \begin{cases} \frac{q^2}{4} + 5q, & q \leq 20 \\ \frac{q^2}{2}, & q > 20 \end{cases}

Предельные издержки будут иметь вид:

MC = \begin{cases} \frac{q}{2} + 5, & q \leq 20 \\ q, & q > 20 \end{cases}

В то время как MR=A-2q. MR — монотонно возрастающая функция, MC —монотонно убывающая, а значит точка пресечения данных функций при любом A будет единственной и соответствовать максимуму прибыли Саши.

A - 2q = \frac{q}{2} + 5, \quad q \leq 20 \\ q^* = \frac{2A - 10}{5}, \quad A \leq 45

Важно заметить, что если q^* не может быть отрицательным, поэтому участок выше ограничен также A\geq 5.

Если же пересечь с другим участком:

A - 2q = q, \quad q > 20 \\ q^* = \frac{A}{3}, \quad q > 60

Таким образом имеем, что оптимальный выбор Саши задается следующим образом:

q^* = \begin{cases} 0, & A < 5 \\ \frac{2A - 10}{5}, & 5 \leq A \leq 45 \\ 20, & 45 < A \leq 60 \\ \frac{A}{3}, & q > 60 \end{cases}

\\ Критерии: 5 баллов (за идею о верхней огибающей ТС) + 2 балла (за вывод ТС) + 2 балла (за оптимизацию, док-во Макс/мин) + 2 балла (за оставшееся решение)