Задача 2. РЭ ПОШ – 2020 (10-11 класс)
Саша очень любит мопеды. Он принимает решение открыть свой бизнес по продаже мопедов в Москве. Для покупки мопедов Саша использует свои контакты в Китае, а именно друга троюродного брата его двоюродного дяди – Хуана. Хуан, на вид милый и улыбчивый человек, на самом деле является хитрым предпринимателем, и чтобы помочь Саше он находит два завода по производству мопедов. На первом заводе издержки имеют вид TC=q^2/2, а на втором – TC=5q+q^2/4. С Сашей они договорились следующим образом: сначала Саша говорит Хуану, какое количество мопедов ему нужно, потом, Хуан называет необходимую ему на производство. Ну и после этого случается обмен мопедов на деньги. Конечно, хитрый Хуан будет называть Саше ту сумму, которая требуется для производства необходимого количества мопедов на заводе, где это стоит дороже, производить на другом всю продукцию и забирать разницу себе в карман. Саше удалось узнать о таком поведении своего делового партнера, однако расторгнуть договор он уже не может, поэтому придется соглашаться на такое взаимодействие.
Саша оценил спрос на свою будущую продукцию как q=A-p, где q – количество мопедов, p – цена одного мопеда, A – константа, которую необходимо определить в будущем. Сейчас Саша хочет построить бизнес модель своего предприятия для всех A>0.
а) Для каждого значения A найдите какое количество мопедов решит продать Саша.
Давайте разберемся, что означает стратегия Хуана. В первую очередь, для каждого q он
определяет, на каком заводе производить дороже. Давайте ответим на этот вопрос:
\begin{array}{c} TC_1 \vee TC_2 \\ \frac{q^2}{2} \vee 5q + \frac{q^2}{4} \\ q(q - 20) \vee 0 \end{array}
А значит при q<20 Хуан будет называть Саше издержки второго завода, а при q>20 — издержки первого завода. Также стоит заметить, что при q=20 Хуану безразлично издержки какого завода назвать. Тогда для Саши издержки будут иметь следующий вид:
TC = \begin{cases} \frac{q^2}{4} + 5q, & q \leq 20 \\ \frac{q^2}{2}, & q > 20 \end{cases}
Предельные издержки будут иметь вид:
MC = \begin{cases} \frac{q}{2} + 5, & q \leq 20 \\ q, & q > 20 \end{cases}
В то время как MR=A-2q. MR — монотонно возрастающая функция, MC —монотонно убывающая, а значит точка пресечения данных функций при любом A будет единственной и соответствовать максимуму прибыли Саши.
A - 2q = \frac{q}{2} + 5, \quad q \leq 20 \\ q^* = \frac{2A - 10}{5}, \quad A \leq 45
Важно заметить, что если q^* не может быть отрицательным, поэтому участок выше ограничен также A\geq 5.
Если же пересечь с другим участком:
A - 2q = q, \quad q > 20 \\ q^* = \frac{A}{3}, \quad q > 60
Таким образом имеем, что оптимальный выбор Саши задается следующим образом:
q^* = \begin{cases} 0, & A < 5 \\ \frac{2A - 10}{5}, & 5 \leq A \leq 45 \\ 20, & 45 < A \leq 60 \\ \frac{A}{3}, & q > 60 \end{cases}
\\ Критерии: 5 баллов (за идею о верхней огибающей ТС) + 2 балла (за вывод ТС) + 2 балла (за оптимизацию, док-во Макс/мин) + 2 балла (за оставшееся решение)
б) Если бы у Хуана была возможность убедить Сашу в оценке спроса (сказать ему значение A ) сославшись на свою компетенцию на этом рынке, какое бы значение A он бы назвал, если он рациональный агент? При этом считайте, что Хуан не хочет звучать неправдоподобно, и решает не называть больше 20 мопедов.
Для решения этого пункта найдем целевую функцию Хуана. Он максимизирует разницу между издержками на разных заводах при одном и том же q. Заметим, что как мы уже показали ранее при q\leq 20 издержки больше на втором заводе, а значит целевая функция Хуана имеет вид:
\frac{q^2}{2} - \frac{q^2}{4} - 5q \to \max \\ q(q - 20) \to \max
Это парабола ветвями вниз, а значит максимум в вершине, которая находится в точности между корнями, а значит оптимальным для Хуана заказом является 10 мопедов. Из ответа на пункта a) мы знаем, что Саша выберет q^*=10 при A=30. Таким образом оптимальной для Хуана оценкой спроса является A=30, и тогда Саша купит у него 10 мопедов.
Критерии: 3 балла (за идею об использовании 1 завода) + 2 балла (док-во Макс мин) + 7 балла (оставшееся решение)
в) Найдите оптимальное для Саши количество мопедов, если бы он мог напрямую работать с двумя заводами, как угодно распределяя выпуск между ними.
В данном пункте Саша может использовать оба завода, распределяя производство оптимальным способом. Решить задачу оптимизации можно любым известным способом, приведем один из них:
\begin{cases} TC_1(q_1) + TC_2(q_2) \to \min \\ q_1 + q_2 = q \end{cases}
\frac{(q - q_2)^2}{2} + 5q_2 + \frac{q_2^2}{4} \to \min
5q_2 + \frac{3q_2^2}{4} - q \times q_2 + \frac{q^2}{2} \to \min
Это паарбола с ветвями вверх, а значит минимум в вершине:
q_2^* = \frac{2(q - 5)}{3}
Однако q_2>0 соответственно оптимальное производство на втором заводе имеет вид:
q_2^* = \begin{cases} \frac{2(q - 5)}{3}, & q > 5 \\ 0, & q \leq 5 \end{cases}
TC = \begin{cases} TC_1(q_1^*) + TC_2(q_2^*), & q > 5 \\ q^2 / 2, & q \leq 5 \end{cases}
TC = \begin{cases} \frac{q^2 + 20q - 50}{6}, & q > 5 \\ q^2 / 2, & q \leq 5 \end{cases}
Так как функция MC — монотонно возрастающая, а MR - монотонно убывающая, точка оптимума единственная. Решим задачу оптимизации для q>5 :
\pi = Aq - q^2 - \frac{q^2 + 20q - 50}{6} \to \max
Это парабола ветвями вниз, а значит максимум в вершине. q^* = \frac{3A - 10}{7} > 5 \Rightarrow A > 15
Решим задачу для q\leq 5 :
\pi = Aq - q^2 - \frac{q^2}{2} \to \max
Это парабола ветвями вниз, а значит максимум в вершине.
q^* = \frac{A}{3} \leq 5 \Rightarrow A \leq 15
Ответ: q^* = \begin{cases} \frac{A}{3}, & A \leq 15 \\ \frac{3A - 10}{7}, & A > 15 \end{cases}
\\ Критерии: 4 балла (за вывод ТС) + 2 балла (за док-во SOC)