Субсидия купцу
В средневековой Венеции большую роль играл Большой Совет (пусть в нем будет человека). Из них случайным образом выбираются двое. Эти двое образуют Малый Совет, который решает, выдавать ли купцу субсидию. Смоделируем ситуацию. Пусть есть купец, который хочет получить субсидию. Субсидия купцу описывается так , где –сумма всех коэффициентов влиятельности людей, выбранных в Малый Совет. Коэффициенты влиятельности у людей Большого Совета у двоих , у двоих . Купец делает взнос в бюджет города. Вероятность, что за выдачу купцу субсидии проголосует член Совета с коэффициентом влиятельности , равна , где – взнос в бюджет этого купца. Вероятность не может быть больше . Купец получит субсидию только если оба члена Малого совета проголосуют за. Как будет действовать купец?
Ответ
Посчитаем ожидаемый выигрыш купца. Всего есть возможные суммы коэффициентов полезности (, и ) и уникальных комбинаций членов Малого Совета . , где это вероятности, что купец получит соответствующую субсидию при соответствующем составе Совета. Сумма в и в достигается в каждая в одной из комбинаций, в остальных достигается . Заметим, что, даже если вдруг купец сделает взнос в бюджет в размере всего своего максимального выигрыша , то вероятность у самого лояльного (с ) вероятность проголосовать за купца будет лишь равна . Значит, мы можем спокойно записывать вероятность без данного ограничения. , где с разными индексами - это коэффициенты влиятельности двух членов. Перепишем ожидаемый выигрыш. . Остаётся записать выигрыш с учетом издержек. Делаем замену . Видим, что это парабола ветвями вниз и её максимум достигается в вершине. . При этом ожидаемый выигрыш больше нуля, пусть и очень маленький (как и взнос).
Ответ: .