Посчитаем ожидаемый выигрыш купца. Всего есть 3 возможные суммы коэффициентов полезности (4, 6 и 8 ) и 6 уникальных комбинаций членов Малого Совета (4*3/2). U = \frac{1}{6} * 2 * (p_1 * 4^2 + 4 * p_2 * 6^2 + p_3 * 8^2), где p_t это вероятности, что купец получит соответствующую субсидию при соответствующем составе Совета. Сумма в 8 и в 4 достигается в каждая в одной из 6 комбинаций, в остальных 4 достигается 6. Заметим, что, даже если вдруг купец сделает взнос в бюджет в размере всего своего максимального выигрыша (64), то вероятность у самого лояльного (с i=4 ) вероятность проголосовать за купца будет лишь равна 1/2. Значит, мы можем спокойно записывать вероятность без данного ограничения. p_n = i_d i_c * \frac{\sqrt{r}}{(80)^2}, где i с разными индексами - это коэффициенты влиятельности двух членов. Перепишем ожидаемый выигрыш. U = \frac{2\sqrt{r}}{6(80)^3} \left( 4 \cdot 4^2 + 4 \cdot 8 \cdot 6^2 + 16 \cdot 8^2 \right) = \frac{7}{60} \sqrt{r} . Остаётся записать выигрыш с учетом издержек. \pi = \frac{7}{60} \sqrt{r} - r. Делаем замену t=\sqrt r. Видим, что это парабола ветвями вниз и её максимум достигается в вершине. t^* = \frac{7}{120} \rightarrow r^* = \left( \frac{7}{120} \right)^2 . При этом ожидаемый выигрыш больше нуля, пусть и очень маленький (как и взнос).

Ответ: r = \left( \frac{7}{120} \right)^2 .