а) Поиск значений, при которых музей создается – 2 балла.

Решение финансировать сооружение по методу простого большинства будет принято тогда и только тогда, когда за него проголосуют избиратели третьей группы, т.е. тогда и только тогда x\geq 20.

б) Поиск значений, при которых музей создается, и это решение является эффективным – 2 балла.

Средние издержки финансировании создания музея составляют 20 д.е., средняя выгода \frac{96+x}{5}.

\frac{96+x}{5}\geq 20 тогда и только тогда, когда x\geq 4.

Таким образом, при x\geq 20 будет принято решение о финансировании музея, и оно окажется эффективным.

Поиск значений, при которых музей не создается, и это решение является эффективным – 2 балла.

При x<4 будет принято решение не финансировать музей, и оно также будет эффективным

Заметим, что при 20>x\geq 4 будет также принято решение не финансировать сооружение музея, но оно будет неэффективным.

Ответ – 1 балл

Ответ. Решение, принятое простым большинством, будет эффективным при x<4 и x\geq 20 (строгость/неcтрогость неравенств не принимать во внимание).

в) Условие безубыточности частной компании и ограничение снизу на цену абонемента – 1 балл.

Если устанавливается единая цена абонемента на посещение музея, то чтобы частная компания не несла убытка от проекта, необходимо, чтобы средняя цена абонемента была не ниже, чем 20 д.е.. Нетрудно видеть, что такой цены не существует, и поэтому частная компания создать музей на таких условиях не согласится.

Доказательство того, что цены, при которой продажа абонементов приносила бы неотрицательную прибыль, не существует – 4 балла.

Действительно, цена должна быть не выше 29 д.е., чтобы абонемент покупали потребители второй группы, но тогда средняя цена не превышает \frac{3*29}{5}<20 даже, если потребители третьей группы будут приобретать абонементы, т.е. если x\geq 29 . Цена должна быть не выше 34 д.е., чтобы абонемент покупали потребители первой группы, но тогда средняя цена абонемента не превышает \frac{2*34}{5}<20 даже, если потребители третьей группы будут приобретать абонементы, т.е. если x\geq 34 .

И наконец, цена должна быть не ниже x, если абонемент покупают только потребители третьей группы (когда x>34 ). Но \frac{x}{5}<20, так как x<100 д.е.

г) Определение цены для каждой группы в случае победы на аукционе – 2 бала.

С целью получения максимальной выручки компания установит максимальные цены на абонемент для потребителя каждой группы, при которых он все еще согласен его покупать.

Сравнение выручки и издержек и определение диапазона значений, при которых будут желающие участвовать в аукционе. Вывод относительно значений – 2 балла.

Поэтому средняя выручка компании составит \frac{96+x}{5} . Желающие принять участие в аукционе найдутся при x>4.

Доход, поступающий в бюджет города – 1 балл.

Бюджет города может получить при этом доход, не превышающий величину m*(\frac{96+x}{5}-20).

д) Сравнение чистых выигрышей потребителя при сообщении истинной и ложной оценки выгоды

в ситуации, если музей создается ( 3 балла)

Пусть v_i – оценка музея потребителем группы i. Следует рассмотреть несколько возможных ситуаций

(1) \quad v_i + \sum_{j \neq i} b_j < 0

(2) \quad v_i + \sum_{j \neq i} b_j \geq 0

В первой ситуации сообщение потребителем i истинного значение чистой оценки музея (b_i=v_i) приводит к тому, что решение о финансировании музея не принимается. Он платит налог Кларка (профессору Кларку), если \sum_{j \neq i} b_j \geq 0 и не платит ничего в противном случае. В первом случае его выигрыш равен − t_i=-\sum_{j \neq i} b_j , во втором случаю нулю. Но может ли этот потребитель увеличить свою полезность? Сообщая информацию о величине своей чистой оценки музея, при которой решение о финансировании музея не принимается, потребитель не меняет свою полезность (поскольку информация об его оценке не участвует при определении выигрыша). Если решение при этом принимается, то полезность (без учета налога) становится равной v_i. В первом случае налог не уплачивается. Но поскольку v_i+\sum_{j \neq i} b_j <0, то v_i<-\sum_{j \neq i} b_j =-t_i, т.е. его полезность в этом случае снижается. Во втором случае уплачивается налог t_i=-\sum_{j \neq i} b_j , так что полезность становится равной v_i+\sum_{j \neq i} b_j . Но поскольку эта величина отрицательна, и в этом случае выигрыш снижается. Таким образом, в любой из ситуаций первого типа потребитель не может выиграть от сообщения неверной величины своей чистой оценки музея.

в ситуации, если музей не создается ( 2 балла)

В любой из ситуаций типа (2) решение о финансировании музея принимается, если потребитель сообщается истинную информацию о своей оценке музея. В случае, когда \sum_{j \neq i} b_j \geq 0, налог Кларка равен нулю и полезность потребителя равна v_i. В противном случае, \sum_{j \neq i} b_j <0, налог Кларка равен −\sum_{j \neq i} b_j и полезность потребителя равна v_i+\sum_{j \neq i} b_j . Если в результате манипулирования с оценками принимается решение не финансировать музей, полезность потребителя в первом случае равна −\sum_{j \neq i} b_j . Но поскольку v_i+\sum_{j \neq i} b_j \geq 0, то v_i, т.е. полезность потребителя не может увеличиться. Во втором случае полезность потребителя становится равной нулю, но поскольку v_i+\sum_{j \neq i} b_j \geq 0, он также не выигрывает от сообщения неверного значения своей оценки.

е) Доказательство того, что ключевого потребителя в данной ситуации не существует – 2 балла.

Заметим, что если в рассматриваемом нами случае существует ключевой потребитель, то таким обязательно будет потребитель первой группы. Поэтому достаточно показать, что потребитель первой группы не будет ключевым. Но это так, поскольку \sum_{j \neq i} v_j =6>0.

Вывод относительно налогов Кларка.- 1 балл

Поскольку ключевого потребителя не существует, то налоги Кларка будут равны нулю.