Люди и роботы: кто кого?
В XXI векe ускорились темпы автоматизации производства, то есть замены труда людей капиталом — в основном, промышленными роботами. Неудивителен рост беспокойства по поводу того, что машины могут полностью заменить людей. В данной задаче мы рассмотрим модель, проливающую свет на этот феномен.
Рассмотрим фирму, производственная функция которой имеет вид:
Q = \sqrt{L_1} + a \cdot R,
где Q — объем производства товара, L_1 — объем неквалифицированного труда людей (труда рабочих), R — объем труда роботов, a > 0 — параметр, характеризующий производительность роботов. Фирма закупает неквалифицированный труд людей и труд роботов на конкурентном рынке по одинаковой цене, равной 1. Цена квалифицированного труда людей для производства труда роботов фиксирована и равна 2.
Цена товара фирмы P зависит от его качества, которое также зависит от его качества z : P(z) = 4z.
Качество товара тем выше, чем больше времени, средств, дизайнов и других квалифицированных сотрудников затрачивает фирма. А именно:
z = \sqrt{L_2}, где L_2 — объем квалифицированного труда людей. Цена единицы квалифицированного труда людей фиксирована и равна 2.
Вопросы:
а) (1 балл) При каких значениях a фирма будет использовать труд роботов?
б) (3 балла) Допустим, качество товара фиксировано на определенном уровне z. Определите оптимальный для фирмы объем производства как функцию от z и a.
в) (3 балла) Определите, какой объем L_1 будет нанимать фирма как функцию от z и a.
г) (2 балла) Определите, какое качество z^* будет выбирать фирма как функцию от a.
д) (6 баллов) Определите величину суммарного спроса фирмы на труд людей как функцию от a.
е) (3 балла) В XXI веке значение параметра a быстро растет. Допустим, a_1 и a_2 таковы, что при росте производительности роботов с a_1 до a_2 фирма увольняет неквалифицированных работников. Верно ли, что при этом величина суммарного спроса фирмы на труд людей тоже сократится? Если нет, приведите свое содержательное экономическое объяснение.
а) Как видно из функции, a единиц труда неквалифицированных работников и единицы труда роботов взаимозаменяемы — при вычитании одного и добавлении другого выпуск всегда остается неизменным. Следовательно, если a единиц L_1 стоят одинаково, то фирме будет выгоднее использовать роботов, когда затраты на L_1 превышают затраты на R. Затраты на единицу каждого из этих ресурсов равны 1, так что труд роботов выгоднее использовать при a > 1, а при a = 1 –– безразлично. Согласно условию, в последнем случае фирма тоже выберет роботов, то есть a \geq 1 –– ответ на вопрос пункта. То же самое можно показать через предельные продукты ресурсов:
Текст на изображении:
MPL_1 = \frac{1}{2 \cdot (L_1 + a \cdot R)} < \frac{a}{2 \cdot (L_1 + a \cdot R)} = MPR.
Значение первой дроби меньше при a < 1 , следовательно, при этом условии каждый дополнительный робот производит меньше, чем работник, при одинаковых издержках.
б) В случае a \geq 1 используются роботы, а неквалифицированный труд не используется, то есть L_1 = 0 . Прибыль при этом равна \pi = 4zQ - R (пренебрегаем фиксированными издержками на L_2 ). Максимум этой функции можно искать разными способами: через производную, через условие равенства предельных величин или через преобразования в квадратичную параболу. Воспользуемся последним способом и заменим R = \frac{Q^2}{a} :
\pi = 4zQ - \frac{Q^2}{a}.
Относительно Q это квадратичная парабола с ветвями вниз, ее максимум в точке Q = 2az .
В случае a < 1 роботы не используются и производственная функция принимает вид Q = \sqrt{L_1} , то есть L_1 = Q^2 . Запишем функцию прибыли (снова не учитываем фиксированные издержки):
\pi = 4zQ - Q^2.
Относительно Q это тоже квадратичная парабола с ветвями вниз, ее максимум в точке Q = 2z . Отсюда L_1 = Q^2 = 4z^2 .
В итоге получаем:
Q(a, z) = \begin{cases} 2z, & a < 1 \\ 2az, & a \geq 1 \end{cases}, \quad L_1(a, z) = \begin{cases} 4z^2, & a < 1 \\ 0, & a \geq 1 \end{cases}, \quad R(a, z) = \begin{cases} 0, & a < 1 \\ \frac{4az^2}{a}, & a \geq 1 \end{cases}.
В вопросе пункта спрашивались только Q и L_1 ; функция R выписана, так как она пригодится при дальнейшем решении.
в) Теперь z является переменной величиной, а значит и издержки L_2 становятся переменными. Их величина равна 2L_2 = 2z^2 . Воспользуемся результатами предыдущего пункта, составим функцию прибыли:
\pi = \begin{cases} 4z \cdot 2z - 4z^2 - 2z^4, & a < 1 \\ 4z \cdot 2az - 4az^2 - 2z^4, & a \geq 1 \end{cases}.
Максимизировать эту функцию можно по-разному. Заменим t = z^2 :
\pi = \begin{cases} 8t - 4t - 2t^2, & a < 1 \\ 8at - 4at - 2t^2, & a \geq 1 \end{cases}.
Вершины парабол (с ветвями вниз) будут ответом на вопрос пункта:
z = \sqrt{t} = \begin{cases} 1, & a < 1 \\ \sqrt{a}, & a \geq 1 \end{cases}.
г) Согласно результату первого пункта и условию,
L_1(z) = \begin{cases} 4z^2, & a \leq 1 \\ 0, & a \geq 1 \end{cases}, \quad L_2(z) = z^4.
Подставив сюда z, найденное в пункте в, получим:
L_1(a) = \begin{cases} 4, & a < 1 \\ 0, & a \geq 1 \end{cases}
L_2(a) = \begin{cases} 1, & a < 1 \\ a^2, & a \geq 1 \end{cases}
L(a) = L_1(a) + L_2(a) = \begin{cases} 5, & a < 1 \\ a^2 & a \geq 1 \end{cases}
График последней функции в задаче не требовался, но для ответа на следующий вопрос он будет полезен.
д) Например, при росте a от 0,5 до 3 спрос на неквалифицированный труд снижается с 4 до 0, а общий спрос на труд растет с 5 до 9. Большая производительность роботов увеличивает объемы производства, а значит, и стимулы инвестировать в качество (ведь выгоды от увеличения качества умножаются на большее количество). Это, в свою очередь, увеличивает спрос фирмы на квалифицированных сотрудников. Рост этого спроса при росте a может скомпенсировать падение спроса на неквалифицированных сотрудников, и суммарный спрос вырастает.
Также можно описать происходящее в терминах «субституты-комплементы». Неквалифицированный труд людей является субститутом к труду роботов, но квалифицированный труд людей является комплементом к нему (через взаимозависимость количества и качества). При росте a растет спрос на роботов, и потому падает на субститут роботов (неквалифицированный труд людей) и растет на комплемент роботов (квалифицированный труд людей). Сумма двух последних эффектов может оказаться положительной.