а) Как видно из функции, a единиц труда неквалифицированных работников и единицы труда роботов взаимозаменяемы — при вычитании одного и добавлении другого выпуск всегда остается неизменным. Следовательно, если a единиц L_1 стоят одинаково, то фирме будет выгоднее использовать роботов, когда затраты на L_1 превышают затраты на R. Затраты на единицу каждого из этих ресурсов равны 1, так что труд роботов выгоднее использовать при a > 1, а при a = 1 –– безразлично. Согласно условию, в последнем случае фирма тоже выберет роботов, то есть a \geq 1 –– ответ на вопрос пункта. То же самое можно показать через предельные продукты ресурсов:

Текст на изображении:

MPL_1 = \frac{1}{2 \cdot (L_1 + a \cdot R)} < \frac{a}{2 \cdot (L_1 + a \cdot R)} = MPR.

Значение первой дроби меньше при a < 1 , следовательно, при этом условии каждый дополнительный робот производит меньше, чем работник, при одинаковых издержках.

б) В случае a \geq 1 используются роботы, а неквалифицированный труд не используется, то есть L_1 = 0 . Прибыль при этом равна \pi = 4zQ - R (пренебрегаем фиксированными издержками на L_2 ). Максимум этой функции можно искать разными способами: через производную, через условие равенства предельных величин или через преобразования в квадратичную параболу. Воспользуемся последним способом и заменим R = \frac{Q^2}{a} :

\pi = 4zQ - \frac{Q^2}{a}.

Относительно Q это квадратичная парабола с ветвями вниз, ее максимум в точке Q = 2az .

В случае a < 1 роботы не используются и производственная функция принимает вид Q = \sqrt{L_1} , то есть L_1 = Q^2 . Запишем функцию прибыли (снова не учитываем фиксированные издержки):

\pi = 4zQ - Q^2.

Относительно Q это тоже квадратичная парабола с ветвями вниз, ее максимум в точке Q = 2z . Отсюда L_1 = Q^2 = 4z^2 .

В итоге получаем:

Q(a, z) = \begin{cases} 2z, & a < 1 \\ 2az, & a \geq 1 \end{cases}, \quad L_1(a, z) = \begin{cases} 4z^2, & a < 1 \\ 0, & a \geq 1 \end{cases}, \quad R(a, z) = \begin{cases} 0, & a < 1 \\ \frac{4az^2}{a}, & a \geq 1 \end{cases}.

В вопросе пункта спрашивались только Q и L_1 ; функция R выписана, так как она пригодится при дальнейшем решении.

в) Теперь z является переменной величиной, а значит и издержки L_2 становятся переменными. Их величина равна 2L_2 = 2z^2 . Воспользуемся результатами предыдущего пункта, составим функцию прибыли:

\pi = \begin{cases} 4z \cdot 2z - 4z^2 - 2z^4, & a < 1 \\ 4z \cdot 2az - 4az^2 - 2z^4, & a \geq 1 \end{cases}.

Максимизировать эту функцию можно по-разному. Заменим t = z^2 :

\pi = \begin{cases} 8t - 4t - 2t^2, & a < 1 \\ 8at - 4at - 2t^2, & a \geq 1 \end{cases}.

Вершины парабол (с ветвями вниз) будут ответом на вопрос пункта:

z = \sqrt{t} = \begin{cases} 1, & a < 1 \\ \sqrt{a}, & a \geq 1 \end{cases}.

г) Согласно результату первого пункта и условию,

L_1(z) = \begin{cases} 4z^2, & a \leq 1 \\ 0, & a \geq 1 \end{cases}, \quad L_2(z) = z^4.

Подставив сюда z, найденное в пункте в, получим:

L_1(a) = \begin{cases} 4, & a < 1 \\ 0, & a \geq 1 \end{cases}

L_2(a) = \begin{cases} 1, & a < 1 \\ a^2, & a \geq 1 \end{cases}

L(a) = L_1(a) + L_2(a) = \begin{cases} 5, & a < 1 \\ a^2 & a \geq 1 \end{cases}

График последней функции в задаче не требовался, но для ответа на следующий вопрос он будет полезен.

д) Например, при росте a от 0,5 до 3 спрос на неквалифицированный труд снижается с 4 до 0, а общий спрос на труд растет с 5 до 9. Большая производительность роботов увеличивает объемы производства, а значит, и стимулы инвестировать в качество (ведь выгоды от увеличения качества умножаются на большее количество). Это, в свою очередь, увеличивает спрос фирмы на квалифицированных сотрудников. Рост этого спроса при росте a может скомпенсировать падение спроса на неквалифицированных сотрудников, и суммарный спрос вырастает.

Также можно описать происходящее в терминах «субституты-комплементы». Неквалифицированный труд людей является субститутом к труду роботов, но квалифицированный труд людей является комплементом к нему (через взаимозависимость количества и качества). При росте a растет спрос на роботов, и потому падает на субститут роботов (неквалифицированный труд людей) и растет на комплемент роботов (квалифицированный труд людей). Сумма двух последних эффектов может оказаться положительной.