Прибыль компании, которая при данных условиях задачи действует как монополист, имеет вид:

\Pi = \left(160 - \frac{Q}{2}\right)Q - 20Q - 10, где учтено, что обратная функция спроса P^D(Q) = 160 - \frac{Q}{2}, а переменные издержки компании VC = AVC(Q) \cdot \hat{Q} = 20Q..

За правильные расчёты - 2 балла

Выражение для прибыли представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола, ветви которой в пространстве (Q,П) направлены вниз. Тогда, максимизируя прибыль, компания будет производить Q^*=140 по цене P^*=160-\frac{140}{2}=90.

За правильные расчёты – 2 балла

Если региональные власти вводят налог по ставке t, то прибыль компании составит:

\tilde{\Pi} = \left(160 - \frac{Q}{2}\right)Q - 20Q - 10 - tQ.

За правильные расчёты – 1 балл

Тогда, максимизируя прибыль, компания будет производить \tilde{Q} = 140 - t. При этом выплаты в региональный бюджет составят T = t \cdot \tilde{Q} = t \cdot (140 - t). Графически эта функция представляет собой в координатах (t,T) параболу, ветви которой направлены вниз, поэтому максимальный доход от налогообложения власти смогут получить, если налог составит \tilde{Q} = 70. При таком налоге будет продано t^* = 70 по цене P^* = 160 - \frac{140 - 70}{2} = 125.

За правильные расчёты – 3 балла

Объём продаж напитка после введения налога сокращается вдвое, следовательно, снижается на 50%.

Цена напитка возрастает на 100 \cdot \frac{125 - 90}{90} \approx 38\%

За правильные расчёты – 2 балла

Ответ:

На 50% сокращается объём продаж и на 38% увеличивается цена напитка.