S030
Весь свой годовой доход (30000 рублей) пенсионер Ветеранов расходует на два продукта – вермишель «Роллтон» (6 руб. за пачку) и горчицу «Распутин» (15 руб. за банку). В супермаркете, где пенсионер приобретает продукты, введена система премий для постоянных покупателей. За каждые 5 пачек «Роллтона», купленных за деньги, Ветеранов получает в подарок одну банку горчицы. Купив за деньги две банки горчицы, пенсионер получает бесплатно одну пачку «Роллтона». Функция полезности пенсионера имеет вид: U=XY, где X,Y – объемы вермишели и горчицы, фактически поступившие в потребление.
Сколько пачек «Роллтона» и банок горчицы фактически поступит в потребление пенсионера за год? Сколько единиц того и другого продукта он купит за деньги?
Будем считать, что X_m, Y_m – объемы вермишели и горчицы, купленные за деньги. В этом случае общие объемы потребления продуктов можно выразить следующим образом: X=X_m+0,5Y_m ; Y=Y_m+0,2X_m. Из первого уравнения Y_m=2X-2X_m. Подставим это выражение во второе уравнение: Y=2X-2X_m+0,2X_m. \quad X_m=(2X-Y):1,8. \quad Y_m = 2Х − 2(2Х – Y) : 1,8.\quad
Из бюджетного ограничения следует, что
30 \, 000 = 6X_m + 15Y_m = 6(2X - Y) : 1.8 + 15 \cdot [2X - 2(2X - Y) : 1.8]; \quad 9000 = X + 4Y; \quad X = 9000 - 4Y.
Представим функцию полезности как функцию одной переменной:
U = XY = 9000Y - 4Y^2. \quad U' = 9000 - 8Y = 0. \quad Y = 1125. \quad X = 9000 - 4 \cdot 1125 = 4500. \\ Y_m = 2X - 2(2X - Y) : 1.8 = 250. \quad X_m = (2X - Y) : 1.8 = 4375.
Ответ. Фактически поступит в потребление 4500 пачек «Роллтона» и 1125 банок горчицы, из них будет куплено за деньги: 4375 пачек «Роллтона» и 250 банок горчицы.