Такси-монополист
В небольшом городе работает единственный сервис такси (платформа-монополист), соединяющий пассажиров и водителей. В дневное время рынок описывается следующими функциями:
Спрос: Q_D=400-P_D, где P_D — цена поездки для пассажира.
Предложение: Q_S=P_S-100, где P_S — вознаграждение, которое получает водитель.
Сервис устанавливает тариф P_D и выплату P_S, а разницу забирает себе. Издержки сервиса нулевые.
а) ( 7 баллов) Найдите оптимальные для сервиса значения цены поездки (P_D) и вознаграждения водителю (P_S) в дневное время.
В равновесии Q_D=Q_S=Q. Выразим цены через количество:
P_D=400-Q
P_S=100+Q
Прибыль платформы (\pi) — это разница цен, умноженная на объем:
\pi = Q \cdot (P_D - P_S) = Q \cdot ((400 - Q) - (100 + Q)) \\ \pi = Q(300 - 2Q) = 300Q - 2Q^2
Максимизируем прибыль (вершина параболы):
Q^* = \frac{300}{4} = 75
Находим цены:
P_D=400-75=325 руб
P_S=100+75=175 руб.
б) ( 6 баллов) В ночное время спрос сокращается в 3 раза, а предложение сокращается в 2 раза. Найдите новые оптимальные P_D и P_S.
.
Новые функции:
Спрос: Q = \frac{400 - P_D}{3} \implies P_D = 400 - 3Q.
Предложение: Q = \frac{P_S - 100}{2} \implies P_S = 100 + 2Q.
Новая прибыль:
\pi_{\text{night}} = Q \cdot ((400 - 3Q) - (100 + 2Q)) = Q(300 - 5Q).
Оптимум:
Q^*_{\text{night}} = 30.
Цены:
P_D=400-3*30=310 руб.
P_S=100+2*30=160 руб.
в) ( 7 баллов) Вернемся к условиям дневного времени. Мэрия города решила, что цены на такси слишком высоки, и законодательно запретила устанавливать цену для пассажиров (P_D) выше 280 рублей. Какую ставку вознаграждения водителям (P_S) установит сервис в новых условиях, чтобы максимизировать прибыль? Возникнет ли на рынке дефицит машин?
Ограничение мэрии P_D\leq 280. Так как нерегулируемый оптимум (325) выше потолка, ограничение становится активным. Сервис установит P_D=280.
Функция прибыли теперь зависит только от выбора Q (и соответствующего ему P_S ), так как выручка с клиента фиксирована:
\pi_{\text{reg}} = Q \cdot (280 - P_S) = Q \cdot (280 - (100 + Q)) = 180Q - Q^2.
Оптимальное количество поездок для платформы:
Q^*_{\text{reg}} = 90.
Вознаграждение водителя, необходимое для обеспечения Q=90 :
P_S=100+90=190 руб.
При P_D=280 желающих поехать клиентов: Q_D=400-280=120, но поездок будет только 90. Таким образом, возникнет дефицит в размере 120-90=30 поездок.