Задача 1 ОЧ-2015 (10 класс)
Фирма «Три Угла», расположенная в стране , занимается выращиванием волшебных цветов. Волшебные цветы растут сами, так что все издержки фирмы связаны только со строительством забора вокруг поля, на котором она растит свои цветы. Стоимость установки одного метра забора равна денежных единиц. Фирма может огородить забором поле любой площади, однако по законам страны это поле обязательно должно быть треугольным (зато треугольник может быть любым: прямоугольным, тупоугольным, остроугольным). На поле площадью один квадратный метр вырастают волшебных цветов.
-
Единственным покупателем волшебных цветов является король страны . Король хотел бы приобрести волшебных цветов. Укажите минимальную цену одного цветка (в денежных единицах), при которой фирма «Три Угла» не понесет убытков, выполняя заказ короля.
-
Предположим, что заказы от короля больше не поступают, однако есть рынок, на который фирма «Три Угла», являющаяся монополистом, может поставлять свои цветы. Рыночный спрос описывается функцией: Существенно изменились теперь и издержки фирмы. Строительство забора теперь оплачивается по следующей схеме. Каждый метр нового забора обходится фирме в денежных единиц, где – длина забора, построенного фирмой (т.е. если фирма построила всего метров забора, то за каждый построенный метр она должна заплатить денежных единиц). Закон о треугольной форме полей никто не отменял. Сколько метров забора необходимо построить фирме, чтобы получить максимальную прибыль? Целочисленность выращиваемых цветков можно игнорировать.
Подсказка. Подумайте, у каких треугольников площадь будет максимальна (строгое доказательство не требуется).
Ответ
Пункт 1.
Этап 1. При заданном периметре площадь треугольника поля максимальна, когда он является равносторонним (можно использовать данное утверждение как факт, без доказательства). В этом случае площадь поля следующим образом соотносится с его периметром:
Этап 2. Чтобы выполнить заказ, требуется поле площадью квадратных метров, следовательно, его периметр можно найти из соотношения:
Стоимость возведения забора такой длины составит денежных единиц.
Прибыль фирмы:
Ответ: д.е.
Пункт 2.
Количество цветов связано с периметром следующим образом:
Тогда
Прибыль фирмы:
Максимум прибыли достигается при периметре, равном метрам.