Цена зафиксирована на уровне P_g=P_m=60. Тогда «новая» цена для покупателя, выбравшего кешбэк на рынке минут, будет равна (1-x)P_m=(1-x)60, а «новая»

цена для выбравших кешбэк на рынке гигабайт будет равна (1-y)P_g=(1-y)60.

Рассмотрим три случая:

1.

a. Обе группы выбирают кешбэк на минуты;

b. Обе группы выбирают кешбэк на гигабайты;

2. Группа A выбирает гигабайты, группа B — минуты;

3. Группа A выбирает минуты, группа B — гигабайты.

Случай 1a и 1b.

Рассмотрим случай, когда обе группы будут выбирать кешбэк на минуты. Прибыль на рынке гигабайт не изменится по сравнению с пунктом a). Запишем прибыль монополиста на рынке минут в этом случае

\Pi_m = (1 - x) \cdot 60 \cdot \left( 160 - \frac{4 \cdot 60(1 - x)}{3} \right) = 60 \cdot \left( 160(1 - x) - \frac{4 \cdot 60(1 - x)^2}{3} \right).

Функция прибыли является параболой ветвями вниз относительно (1-x) и достигает своего максимума в вершине (1-x)=1, то есть оптимальная ставка кешбэка на минуты в этом случае x^*=0, значит кешбэк не будет введен. Аналогично для случая 1b.

Случай 2.

Запишем прибыль монополиста на рынке минут

\Pi_m = 40 \cdot 60 + (1 - x) \cdot 60 \cdot \left( 60 - \frac{60(1 - x)}{3} \right) = 40 \cdot 60 + 60 \cdot \left( 60(1 - x) - \frac{60(1 - x)^2}{3} \right)

Функция прибыли является параболой ветвями вниз относительно (1-x) и достигает своего максимума в вершине (1-x)=1, то есть оптимальная ставка кешбэка на минуты в этом случае x^*=0, значит кешбэк не будет введен. Аналогично на рынке гигабайт.

Случай 3 .

Рассмотрим изменение потребительских излишков при выборе группой A кешбэков на рынке минут (\Delta CS_m) и гигабайт (\Delta CS_g) на рисунке 2.

\Delta CS_m = \frac{100 - P_m + 100 - (1 - x)P_m}{2} \cdot P_m(1 - 1 + x) = \frac{80 + 60x}{2} \cdot 60x = (40 + 30x)60x

\Delta CS_g = \frac{60 - \frac{P_g}{3} + 60 - \frac{(1 - y)P_g}{3}}{2} \cdot 60y = \frac{80 + 2y}{2} \cdot 60y = (40 + 10y)60y

Для того, чтобы агент из группы A выбрал кешбэк на минуты, а не на гигабайты, должно выполняться (1) \quad \Delta CS_m > \Delta CS_g.

На данном этапе можно также заметить, что т.к. положения на рынках минут и гигабайт, а также спросы групп симметричны, следовательно, в оптимуме, x и y должны быть равны. Таким образом, соотношение 1 выполняется всегда. Группа A при равных x, \ y всегда будет выбирать кешбэк на минуты. Аналогично для группы B — она всегда будет выбирать кешбэк на гигабайты.

Запишем оптимизационную задачу монополиста на рынке минут.

\Pi_m = (1 - x) \cdot 60 \cdot (40 + 60x) + 40 \cdot 60 \rightarrow \max_{x \in [0,1]}.

Функция прибыли на рынке минут является параболой ветвями вниз, максимум которой достигается в вершине x^*=1/6. Аналогично для рынка гигабайт и y^*. Следовательно, оптимальные x^*, \ y^*=1/6. Сравним прибыли до введения кешбэка

\Pi_{(a)} = 60 \cdot 80 = 4800 и после \Pi_{(б)} = \frac{5}{6} \cdot 60 \cdot \left( 40 + 60 \cdot \frac{1}{6} \right) + 2400 = 4900 > 4800, то есть аналитики были правы, введение кешбэка увеличило прибыль