Асы во всем
В некотором государстве Асгардия живет 50 асов. У каждого из них есть производственная функция, по которой они работают каждый период, Y=2\sqrt{KL}. ( Y уже в денежных единицах, L – в месяцах). В одном периоде – 5 месяцев. Также в стране есть капитал 50. Этот капитал равномерно распределен между асами. Раньше асы все произведенное продавали и выручку тратили на необходимые продукты из другого государства. Однако однажды к асам пришло государство. От этого в экономике асов возникли:
1). Пенсионный фонд, куда асы обязаны откладывать 10\% от того, что произвели каждый период.
2). Норма выбытия капитала в 5\%. (По окончание каждого периода 5\% капитала выходит
из строя). Государство выдает средства из пенсионного фонда под ноль процентов инвесторам, которые инвестируют все полученное в экономику асов и ничего не берут взамен. Новый капитал равномерно распределяется между асами. Население не меняется.
А). Если асы потребляют всё, что произведено и не отложено в пенсионной фонд, и их функция полезности за период u=cl^2, где l – в месяцах, которые они отдыхают, а c – в денежных единицах, то что будет происходить с производством и потреблением каждого аса в первый и второй период после прихода гос-ва? Как могло бы выглядеть статическое равновесие в таких условиях?
Б). Введём технический прогресс. Теперь 1 месяцев производства засчитываются за 1*E месяцев. Если E начинается с 1 и каждый год растет на 3\%, то что должно происходить с капиталом для достижения статического (постоянного) роста производства.
А) Для начала найдём, как и сколько Асы будут работать в зависимости от количества капитала у него. u=2\sqrt{KL}(5-L)^2. Максимизируем, взяв производную.
F'(L) = F'(2\sqrt{K}(25L^{0.5} - 10L^{1.5} + L^{2.5})) = 2\sqrt{K} \left( \frac{25}{2\sqrt{L}} - 15\sqrt{L} + 2.5L^{1.5} \right)
В дальнейшем для удобства будем работать с одним асом. Приравняем к нулю и до множим на \sqrt L ( L\geq 0 и очевидно не равно нулю, так как в этом случае полезность равна нулю). Получаем квадратное уравнение 2,5L^2-15L+12,5=0. Решив это уравнение получим, что L равно либо 1, либо 5. При 5 полезность равна 0, при единице максимальна. Итак, мы видим, что поведение Асов никак не зависит от количества капитала (главное, чтобы положительное).
Итак, K=L=1 в первом периоде. Значит производство каждого аса в первом периоде Y=2. Однако в конце государство отнимает 10\% произведённого. Значит потребление асов будет c=2*0,9=1,8. Во втором периоде выбыло 5\% первоначального капитала и в капитал же добавилось то, что было отнято в виде налогов в предыдущем периоде. K=0,95+0,2=1,15. L от капитала не зависит, L=1. Производство Y=2\sqrt{1,15}, потребление c=1,8\sqrt{1,15}.
Мы увидели, что L=1 всегда. Значит статическое состояние может быть достигнуто только, если из года в год не меняется капитал. Для этого его выбытие должно стать равным увеличению (то есть пенсионному вычету). 0,05K = 0,2\sqrt{K} \rightarrow K^{*} = 16. При достижении данного количества капитала на душу населения капитал перестаёт изменяться. Это и будет статическое состояние возможное в данных условиях.
Б). Аналогично предыдущему пункту можно доказать, что L не зависит от технического прогресса и равно 1 всегда. Вновь запишем предыдущее равенство, но добавим к этому технический прогресс. В статическом состоянии капитал должен изменяться только под воздействием технического прогресса, но не из-за инвестиций или выбытия. 0,05K = 0,2\sqrt{(1,03)^t K} \to K = 16(1,03)^t , где t – номер периода. Y=8*(1,03)^t. Получается, что и капитал, и производство стационарно растут вместе с техническим прогрессом на 3 процента в год.