Асы во всем
В некотором государстве Асгардия живет асов. У каждого из них есть производственная функция, по которой они работают каждый период, . ( уже в денежных единицах, – в месяцах). В одном периоде – месяцев. Также в стране есть капитал . Этот капитал равномерно распределен между асами. Раньше асы все произведенное продавали и выручку тратили на необходимые продукты из другого государства. Однако однажды к асам пришло государство. От этого в экономике асов возникли:
1). Пенсионный фонд, куда асы обязаны откладывать от того, что произвели каждый период.
2). Норма выбытия капитала в . (По окончание каждого периода капитала выходит
из строя). Государство выдает средства из пенсионного фонда под ноль процентов инвесторам, которые инвестируют все полученное в экономику асов и ничего не берут взамен. Новый капитал равномерно распределяется между асами. Население не меняется.
А). Если асы потребляют всё, что произведено и не отложено в пенсионной фонд, и их функция полезности за период , где – в месяцах, которые они отдыхают, а – в денежных единицах, то что будет происходить с производством и потреблением каждого аса в первый и второй период после прихода гос-ва? Как могло бы выглядеть статическое равновесие в таких условиях?
Б). Введём технический прогресс. Теперь месяцев производства засчитываются за месяцев. Если начинается с и каждый год растет на , то что должно происходить с капиталом для достижения статического (постоянного) роста производства.
Ответ
А) Для начала найдём, как и сколько Асы будут работать в зависимости от количества капитала у него. . Максимизируем, взяв производную.
В дальнейшем для удобства будем работать с одним асом. Приравняем к нулю и до множим на ( и очевидно не равно нулю, так как в этом случае полезность равна нулю). Получаем квадратное уравнение . Решив это уравнение получим, что равно либо , либо . При полезность равна , при единице максимальна. Итак, мы видим, что поведение Асов никак не зависит от количества капитала (главное, чтобы положительное).
Итак, в первом периоде. Значит производство каждого аса в первом периоде . Однако в конце государство отнимает произведённого. Значит потребление асов будет . Во втором периоде выбыло первоначального капитала и в капитал же добавилось то, что было отнято в виде налогов в предыдущем периоде. . от капитала не зависит, . Производство , потребление .
Мы увидели, что всегда. Значит статическое состояние может быть достигнуто только, если из года в год не меняется капитал. Для этого его выбытие должно стать равным увеличению (то есть пенсионному вычету). . При достижении данного количества капитала на душу населения капитал перестаёт изменяться. Это и будет статическое состояние возможное в данных условиях.
Б). Аналогично предыдущему пункту можно доказать, что не зависит от технического прогресса и равно всегда. Вновь запишем предыдущее равенство, но добавим к этому технический прогресс. В статическом состоянии капитал должен изменяться только под воздействием технического прогресса, но не из-за инвестиций или выбытия. , где – номер периода. . Получается, что и капитал, и производство стационарно растут вместе с техническим прогрессом на процента в год.