Продажа валютной выручки
В стране Альфа национальной валютой является тугрик, а рынок нефти совершенно конкурентный. На рынке присутствует 100 фирм, функция издержек каждой из которых имеет вид TC = 200q2, где q –– выпуск фирмы, TC –– общие издержки (в тугриках). Внутренний спрос на нефть описывается уравнением Q = 100 − P/4, где P –– внутренняя цена (в тугриках). Фирмы могут также экспортировать нефть по мировой цене 8 долларов за единицу. Каждая фирма должна оплачивать свои издержки тугриками, а прибыль держит в долларах (при необходимости докупая их). Внутренний спрос делится поровну между фирмами. Импорт нефти в страну запрещен. Изначально на счетах фирм нет долларов и тугриков. Спрос других экономических агентов на доллары описывается уравнением D = 480−8e, где e –– обратный валютный курс тугрика (цена доллара в тугриках). Спрос может быть отрицательным, если агенты при данном курсе предпочитают продавать доллары, а не покупать. Например, при курсе e = 100 будет иметь место предложение долларов в размере |480 − 8 \cdot 100| = 320. Нефтяные компании воспринимают валютный курс и все цены как заданные.
а) (3 балла) При каких значениях e фирмы будут продавать нефть как на внутреннем, так и на внешнем рынке?
б) (2 балла) Найдите функцию предложения долларов нефтяными компаниями (как функцию от e для значений e, найденных вами в пункте а). Предложение отрицательно, если фирмы предъявляют спрос на доллары.
в) (3 балла) Найдите функцию предложения долларов нефтяными компаниями для всех e \geq 0 и равновесный курс e.
г) (3 балла) Государство обязало каждую нефтяную компанию обменивать на тугрики как минимум долю \alpha \in [0; 1] долларовой выручки, а покупать доллары им запретило. Считайте, что каждая фирма стремится сохранить на счету максимальное возможное количество долларов. Найдите равновесный курс e как функцию от \alpha.
д) (1 балл) Допустим, вместо того, чтобы обязывать отечественные фирмы продавать долю валютной выручки, государство обязывает иностранцев покупать нефть страны Альфа только за тугрики. Основываясь на ваших результатах выше, определите, чему будет равен равновесный валютный курс в этом случае.
а) Найдем функцию предложения каждой фирмы. Используя P = MC или максимизируя прибыль Pq − 200q2, получаем, что qs = P/400, а значит, рыночное предложение описывается уравнением Q = P/4. Если фирма продает нефть на двух рынках, то цена в тугриках на внутреннем рынке должна быть равна цене на международном с учетом валютного курса, то есть P = 8e. Действительно, иначе она будет поставлять только на тот рынок, где цена больше. Чтобы имел место внутренний спрос, P должно быть меньше 400. Чтобы фирмы могли экспортировать часть нефти, должен быть избыток товара на рынке, то есть P/4 > 100 − P/4, откуда P > 200. Поскольку 200 < P < 400, 200 < 8e < 400, откуда 25 < e < 50.
Ответ: e \in (25; 50).
б) Пусть TRexp –– экспортная валютная выручка фирмы в долларах, TRvn –– ее внутренняя выручка в тугриках. Тогда прибыль фирмы в тугриках равна eTRexp+TRvn−TC, прибыль в тугриках равна TRexp + (TRvn − TC)/e. Соответственно,
- Если TRvn − TC > 0, фирма будет продавать тугрики в размере TRvn − TC и покупать доллары, ее спрос на доллары будет равен (TRvn − TC)/e, а предложение равно −(TRvn − TC)/e = (TC − TRvn)/e.
- TRvn−TC < 0, фирма не будет хватать рублей, чтобы внутренней выручкой оплатить издержки, фирма будет продавать доллары, чтобы восполнить эту разницу. Предложение долларов составит (RC − TRvn)/e. Значит, так или иначе, предложение фирмой долларов будет равно (TC − TRvn)/e. Предложение всеми фирмами долларов будет равно 100(TC − TRvn)/e. Выразим эту величину только через e.
TC = 200q^2 = 200\left(\frac{P}{400}\right)^2 = \frac{P^2}{800} = \frac{(8e)^2}{800} = \frac{8e^2}{100}
100TC = 8e^2
100TR_{vn} = 100Pq_{vn} = P(100 - \frac{P}{4}) = 8e(100 - 2e)
S(e) = 100\frac{TC - TR_{vn}}{e} = \frac{8e^2 - 800e + 16e^2}{e} = 24e - 800
Ответ: S(e) = 24e − 800.
в) Поймем, что происходит при e \geq 50 и e \leq 25.
- При e \geq 50, фирмы продают нефть только на внешний рынок, а значит, им надо будет продавать доллары в размере TC/e, чтобы оплатить издержки. Значит S(e) = 100TC/e = 8e2 /e = 8e.
- При e \leq 25, фирмы не будут продавать за рубеж. Поскольку импорт запрещен, страна не будет участвовать в международной торговле. Всю тугриковую прибыль фирмы будут менять на доллары. Цена будет равна 200, количество 50, индивидуальное количество равно 0,5, поэтому издержки фирм будут 100TC = 100 \cdot 200 \cdot 0,52 = 100 \cdot 200/4 = 5000. Прибыль фирм равна 50 \cdot 200 − 5000 = 5000 тугриков. Значит, их спрос на доллары составит 5000/e, а предложение долларов S(e) = −5000/e. В обобщенном виде:
S(e) = \begin{cases} \frac{-5000}{e}, & e \leq 25; \\ 24e - 800, & e \in (25; 50); \\ 8e, & e \geq 50. \end{cases}
Пересечение предложения со спросом D(e) = 480 − 8e будет на среднем участке, e* = 40.
Ответ: предложение дано выше, равновесный курс равен 40.
г) Валютная выручка равна 8Qexp = 8(P/4 − (100 − P/4)) = 4P − 800 = 32e − 800. Поэтому новое предложение долларов при e < 50 будет описываться уравнением
S(e) = max{0; 24e − 800; \alpha (32e − 800)}.
Поскольку предложение точно не снизится, курс не повысится по сравнению с 40, а значит случай e > 50 рассматривать не нужно. В изначальном равновесии фирмы продают долю валютной выручки в размере (24e − 800)/(32e − 800) = (24 \cdot 40 − 800)/(32 \cdot 40 − 800) = 1/3. Получаем, что при \alpha \leq 1/3 вмешательство государства не повлияет на равновесие, а при \alpha \in (1/3; 1] равновесный курс будет (60 + 100\alpha )/(1 + 4\alpha ). В итоге
e(\alpha) = \begin{cases} 40, & \alpha \leq \frac{1}{3}; \\ \frac{60 + 100\alpha}{1 + 4\alpha}, & \alpha \in \left(\frac{1}{3}; 1\right]. \end{cases}
д) Продажа за тугрики означает, что иностранцам придется покупать на рынке тугрики и продавать доллары в размере всей валютной выручки фирмы, то есть это эквивалентно случаю \alpha = 1. Значит, ответом будет e(1) = 32.
Ответ: 32 тугрика за доллар.