Задача 3 ОЧ-2016 (11 класс)
В некотором государстве было решено построить огромный горнолыжный курорт. По счастливой случайности выбранное место для горнолыжного курорта идеально: красивые горы, чистый воздух, рядом есть международный аэропорт.
К сожалению, путь до аэропорта есть только объездной по старой дороге. Строительство горнолыжного комплекса идет полным ходом. Теперь предстоит построить качественную дорогу до аэропорта (чтобы привлечь туристов со всего мира). Но есть проблема. Строительство дороги очень дорого. И хочется построить ее подешевле. Местность до аэропорта состоит из трех частей: горной, равнинной и реки. Стоимость моста через реку составляет (100-10\sqrt{82}) млн. Стоимость 1 км. равнинной дороги составляет $ 1 млн., а стоимость 1 км горной дороги составляет $ 9 млн. Все расстояния указаны на схеме:
- Какие факторы влияют на выбор места для строительства горнолыжного курорта? Укажите не менее 5 факторов.
- Считая, что дорогу можно прокладывать в любом участке горной или равнинной местности, проложите оптимальный маршрут (с точки зрения минимизации затрат на строительство) и найдите стоимость сооружения магистрали. Мост строится перпендикулярно берегам реки. Примечание: строгое обоснование минимума или максимума функций, которые вы будете получать, в задаче не требуется. В ответе нарисуйте схему и укажите точное расположение строительства моста.
- Выяснилось, что сейчас у компании возникли трудности, и у неё совсем нет денег для строительства дороги. Требуется построить дорогу сейчас, а платить за неё потом. Сегодня банк готов предоставить фирме необходимые для строительства дороги средства. Фирма должна будет выплатить предоставленную сумму по следующей схеме: каждый год, начиная со следующего, фирма уплачивает банку фиксированную сумму на протяжении неограниченного периода времени. Учитывая, что процентная ставка равна 10\% годовых (и ожидается, что она останется такой всегда), сколько фирме придется платить ежегодно (платить она будет, начиная со следующего года)?
1. Возможные варианты ответа: наличие гор, транспортная инфраструктура (аэропорт/дороги), отсутствие криминогенной обстановки, удобная транспортная доступность (не Камчатка), погодные условия: мягкий климат, наличие снега, красивая природа, чиновники, которые не будут препятствовать...и т.д.
2. Чтобы дорога была дешевле, её участки должны состоять из прямых.
Далее обозначим за t определенную величину (см. схему).
Тогда стоимость дороги (S) составляет:
S = 9 \cdot \sqrt{9^2 + t^2} + (100 - 10 \sqrt{82}) + 1 \cdot \sqrt{1^2 + (10 - t)^2}
Будем минимизировать это выражение. Возьмём производную и приравняем к 0 :
S' = \frac{9 \cdot 2t}{2 \sqrt{9^2 + t^2}} + \frac{2t - 20}{2 \sqrt{1^2 + (10 - t)^2}} = 0
\frac{9t}{\sqrt{9^2 + t^2}} = \frac{10 - t}{\sqrt{1^2 + (10 - t)^2}}
\frac{81t^2}{9^2 + t^2} = \frac{100 - 20t + t^2}{t^2 - 20t + 101}
81t^4 - 1620t^3 + 8181t^2 = 8100 - 1620t + 81t^2 + 100t^2 - 20t^3 + t^4
80t^4 - 1600t^3 + 8000t^2 + 1620t - 8100 = 0
8t^4 - 160t^3 + 800t^2 + 162t - 810 = 0
4t^4 - 80t^3 + 400t^2 + 81t - 405 = 0
Далее угадывается корень t=1.
(t - 1)(4t^3 - 76t^2 + 324t + 405)
Посчитаем значения функций на краях. Там явно значение функции больше
Обоснования достаточности не требуется в решении! (что стимулирует к бездумному приравниванию производной к нулю) Но в решении мы её обоснуем. Мы можем исследовать функцию, получившуюся справа.
f(0)=405. Рассмотрим как она себя ведёт на положительной оси.
f'(x) = 12x^2 - 152x + 324 = 0
x' = \frac{152 + \sqrt{7552}}{24}
f(x') > 0
Это означает, что производная всюду положительна при t>1, функция возрастает, поэтому на положительной оси больше экстремумов нет.
Обоснуем, что найденное t=1 действительно является минимумом. Возьмем краевые значения t и увидим, что в них значения больше, чем получившаяся стоимость.
Далее можно перемножать и пытаться искать корни, но корень легко угадывается; t=1. Это минимум. (Строгое обоснование не требуется).
Значит, стоимость строительства дороги:
S = 9 \cdot \sqrt{82} + (100 - 10 \sqrt{82}) + \sqrt{82} = 100 млн. $
3. Требуется, чтобы приведённая стоимость была равна 100. Тогда x – ежегодный платёж.
100 = \frac{x}{1 + 0,1} + \frac{x}{(1 + 0,1)^2} + \cdots = \frac{x}{1,1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{1,1}} = \frac{x}{1,1} \cdot \frac{11}{1} = 10x \implies
Платить придется ежегодно по 100/10=10 млн. $
Если в предыдущем пункте получился ответ Q, то ответ на этот пункт Q/10.