1. Возможные варианты ответа: наличие гор, транспортная инфраструктура (аэропорт/дороги), отсутствие криминогенной обстановки, удобная транспортная доступность (не Камчатка), погодные условия: мягкий климат, наличие снега, красивая природа, чиновники, которые не будут препятствовать...и т.д.

2. Чтобы дорога была дешевле, её участки должны состоять из прямых.

Далее обозначим за t определенную величину (см. схему).

Тогда стоимость дороги (S) составляет:

S = 9 \cdot \sqrt{9^2 + t^2} + (100 - 10 \sqrt{82}) + 1 \cdot \sqrt{1^2 + (10 - t)^2}

Будем минимизировать это выражение. Возьмём производную и приравняем к 0 :

S' = \frac{9 \cdot 2t}{2 \sqrt{9^2 + t^2}} + \frac{2t - 20}{2 \sqrt{1^2 + (10 - t)^2}} = 0

\frac{9t}{\sqrt{9^2 + t^2}} = \frac{10 - t}{\sqrt{1^2 + (10 - t)^2}}

\frac{81t^2}{9^2 + t^2} = \frac{100 - 20t + t^2}{t^2 - 20t + 101}

81t^4 - 1620t^3 + 8181t^2 = 8100 - 1620t + 81t^2 + 100t^2 - 20t^3 + t^4

80t^4 - 1600t^3 + 8000t^2 + 1620t - 8100 = 0

8t^4 - 160t^3 + 800t^2 + 162t - 810 = 0

4t^4 - 80t^3 + 400t^2 + 81t - 405 = 0

Далее угадывается корень t=1.

(t - 1)(4t^3 - 76t^2 + 324t + 405)

Посчитаем значения функций на краях. Там явно значение функции больше

Обоснования достаточности не требуется в решении! (что стимулирует к бездумному приравниванию производной к нулю) Но в решении мы её обоснуем. Мы можем исследовать функцию, получившуюся справа.

f(0)=405. Рассмотрим как она себя ведёт на положительной оси.

f'(x) = 12x^2 - 152x + 324 = 0

x' = \frac{152 + \sqrt{7552}}{24}

f(x') > 0

Это означает, что производная всюду положительна при t>1, функция возрастает, поэтому на положительной оси больше экстремумов нет.

Обоснуем, что найденное t=1 действительно является минимумом. Возьмем краевые значения t и увидим, что в них значения больше, чем получившаяся стоимость.

Далее можно перемножать и пытаться искать корни, но корень легко угадывается; t=1. Это минимум. (Строгое обоснование не требуется).

Значит, стоимость строительства дороги:

S = 9 \cdot \sqrt{82} + (100 - 10 \sqrt{82}) + \sqrt{82} = 100 млн. $

3. Требуется, чтобы приведённая стоимость была равна 100. Тогда x – ежегодный платёж.

100 = \frac{x}{1 + 0,1} + \frac{x}{(1 + 0,1)^2} + \cdots = \frac{x}{1,1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{1,1}} = \frac{x}{1,1} \cdot \frac{11}{1} = 10x \implies

Платить придется ежегодно по 100/10=10 млн. $

Если в предыдущем пункте получился ответ Q, то ответ на этот пункт Q/10.