S036
В курортном городе, выросшем вокруг источника минеральной воды, единственным доходом всех домохозяйств является квартирная плата, получаемая от сдачи комнат курортникам. При этом домохозяйства равномерно распределены по всей площади города. Для каждого домохозяйства ежегодный доход от сдачи комнат определяется по формуле: i=h-s, где h − максимальный доход от сдачи комнат (его получают домохозяйства, расположенные рядом с источником), s – расстояние по прямой от источника до домохозяйства в километрах.
Сформулируйте уравнение кривой Лоренца для домохозяйств данного города в виде: Y=f(X), где X – доля домохозяйств, Y – доля дохода (0\leq X\leq 1, 0\leq Y\leq 1).
Предположим, на каждом квадратном километре города размещается N домохозяйств. Поскольку при s>h доход становится равным нулю, город в плане имеет вид круга радиусом h. При этом наименее обеспеченные домохозяйства находятся на окружности радиусом h. По мере приближения к центру города, где расположен источник минеральной воды, доход домохозяйств постепенно возрастает вплоть до максимального значения (h). Общее число домохозяйств в городе будет равно N\pi h^2.
Рассмотрим кольцо (ограниченное окружностями с радиусами h и s, при этом s может принимать значения от 0 до h ), в котором находятся домохозяйства, менее обеспеченные по сравнению с домохозяйствами центрального круга (см. рис. 1 ). Число домохозяйств, расположенных в этом кольце, будет равно: N(\pi h^2-\pi s^2)=N\pi(h^2-s^2). Доля домохозяйств, расположенных на расстоянии s от источника и далее (т.е. наименее обеспеченных) будет равна: X = \frac{N \pi (h^2 - s^2)}{N \pi h^2} = 1 - \frac{s^2}{h^2}\quad (1).
Для домохозяйств, расположенных рядом с источником, s=0, поэтому доход i=h. По мере удаления от источника доход убывает линейно в соответствии с формулой: i=h-s. Поэтому общий доход, получаемый всеми домохозяйствами, вместе взятыми, будет численно равен объему конуса, показанного на рис. 2. Объем этого конуса составит: 1/3h*\pi h^2=1/3\pi h^3.
Попробуем определить доход домохозяйств, которые находятся внутри кольца, показанного на рис. 1. Для этого нарисуем еще один конус (рис. 3, левая часть).
Очевидно, доход домохозяйств, расположенных в кольце на краю города, будет численно равен объему всего конуса, показанного на рис. 2, за вычетом двух составляющих:
а) верхнего конуса, имеющего высоту s и радиус основания s ;
б) цилиндра в низу конуса, имеющего высоту (h-s) и радиус s.
Если мы вырежем из конуса, показанного на рис. 2, эти составляющие а) и б), то получим фигуру на рис. 3 (правая часть).
Объем этой фигуры будет равен величине: \frac{1}{3} \pi h^3 - \frac{1}{3} s * \pi s^2 - (h - s) * \pi s^2 = \pi \left(\frac{1}{3} h^3 + \frac{2}{3} s^3 - h s^2 \right).
Исходя из этого, доля дохода домохозяйств, расположенных на расстоянии s от источника и далее (т.е. наименее обеспеченных) будет равна:
Y = \frac{\pi \left( \frac{h^3}{3} + \frac{2s^3}{3} - hs^2 \right)}{\frac{\pi h^3}{3}} = 1 + 2 \frac{s^3}{h^3} - 3 \frac{s^2}{h^2}.
Используя (1), выразим s через X : s=h\sqrt{1-X}.
Подставим это значение s в выражение для Y : Y = 1 + 2 \frac{h^3 \sqrt{(1 - X)^3}}{h^3} - 3 \frac{h^2 (1 - X)}{h^2} = 1 + 2(1 - X)^{1.5} - 3 + 3X = 3X + 2(1 - X)^{1.5} - 2.
Полученное выражение и есть уравнение кривой Лоренца.
Ответ. Y = 3X + 2(1 − X)^{1,5} − 2.