Предположим, на каждом квадратном километре города размещается N домохозяйств. Поскольку при s>h доход становится равным нулю, город в плане имеет вид круга радиусом h. При этом наименее обеспеченные домохозяйства находятся на окружности радиусом h. По мере приближения к центру города, где расположен источник минеральной воды, доход домохозяйств постепенно возрастает вплоть до максимального значения (h). Общее число домохозяйств в городе будет равно N\pi h^2.

Рассмотрим кольцо (ограниченное окружностями с радиусами h и s, при этом s может принимать значения от 0 до h ), в котором находятся домохозяйства, менее обеспеченные по сравнению с домохозяйствами центрального круга (см. рис. 1 ). Число домохозяйств, расположенных в этом кольце, будет равно: N(\pi h^2-\pi s^2)=N\pi(h^2-s^2). Доля домохозяйств, расположенных на расстоянии s от источника и далее (т.е. наименее обеспеченных) будет равна: X = \frac{N \pi (h^2 - s^2)}{N \pi h^2} = 1 - \frac{s^2}{h^2}\quad (1).

Для домохозяйств, расположенных рядом с источником, s=0, поэтому доход i=h. По мере удаления от источника доход убывает линейно в соответствии с формулой: i=h-s. Поэтому общий доход, получаемый всеми домохозяйствами, вместе взятыми, будет численно равен объему конуса, показанного на рис. 2. Объем этого конуса составит: 1/3h*\pi h^2=1/3\pi h^3.

Попробуем определить доход домохозяйств, которые находятся внутри кольца, показанного на рис. 1. Для этого нарисуем еще один конус (рис. 3, левая часть).

Очевидно, доход домохозяйств, расположенных в кольце на краю города, будет численно равен объему всего конуса, показанного на рис. 2, за вычетом двух составляющих:

а) верхнего конуса, имеющего высоту s и радиус основания s ;

б) цилиндра в низу конуса, имеющего высоту (h-s) и радиус s.

Если мы вырежем из конуса, показанного на рис. 2, эти составляющие а) и б), то получим фигуру на рис. 3 (правая часть).

Объем этой фигуры будет равен величине: \frac{1}{3} \pi h^3 - \frac{1}{3} s * \pi s^2 - (h - s) * \pi s^2 = \pi \left(\frac{1}{3} h^3 + \frac{2}{3} s^3 - h s^2 \right).

Исходя из этого, доля дохода домохозяйств, расположенных на расстоянии s от источника и далее (т.е. наименее обеспеченных) будет равна:

Y = \frac{\pi \left( \frac{h^3}{3} + \frac{2s^3}{3} - hs^2 \right)}{\frac{\pi h^3}{3}} = 1 + 2 \frac{s^3}{h^3} - 3 \frac{s^2}{h^2}.

Используя (1), выразим s через X : s=h\sqrt{1-X}.

Подставим это значение s в выражение для Y : Y = 1 + 2 \frac{h^3 \sqrt{(1 - X)^3}}{h^3} - 3 \frac{h^2 (1 - X)}{h^2} = 1 + 2(1 - X)^{1.5} - 3 + 3X = 3X + 2(1 - X)^{1.5} - 2.

Полученное выражение и есть уравнение кривой Лоренца.

Ответ. Y = 3X + 2(1 − X)^{1,5} − 2.